4 Categories

• Section 4.1: Introduction
• Section 4.2: Definitions
  • Definition 4.2.1
  • Remark 4.2.2
  • Remark 4.2.3
  • Definition 4.2.4
  • Definition 4.2.5
  • Example 4.2.6
  • Example 4.2.7
  • Definition 4.2.8
  • Definition 4.2.9
  • Definition 4.2.10
  • Remark 4.2.11
  • Example 4.2.12
  • Example 4.2.13
  • Example 4.2.14
  • Definition 4.2.15
  • Remark 4.2.16
  • Definition 4.2.17
  • Lemma 4.2.18
  • Lemma 4.2.19
  • Definition 4.2.20
• Section 4.3: Opposite Categories and the Yoneda Lemma
  • Definition 4.3.1
  • Definition 4.3.2
  • Definition 4.3.3
  • Example 4.3.4
  • Lemma 4.3.5: Yoneda lemma reference
  • Definition 4.3.6
• Section 4.4: Products of pairs
  • Definition 4.4.1
  • Definition 4.4.2
• Section 4.5: Coproducts of pairs
  • Definition 4.5.1
  • Definition 4.5.2
• Section 4.6: Fibre products
  • Definition 4.6.1
  • Definition 4.6.2
  • Definition 4.6.3
  • Definition 4.6.4
  • Lemma 4.6.5
  • Lemma 4.6.6
• Section 4.7: Examples of fibre products
• Section 4.8: Fibre products and representability
  • Lemma 4.8.1
  • Definition 4.8.2
  • Lemma 4.8.3
  • Lemma 4.8.4
• Section 4.9: Pushouts
  • Definition 4.9.1
  • Definition 4.9.2
• Section 4.10: Equalizers
  • Definition 4.10.1
• Section 4.11: Coequalizers
  • Definition 4.11.1
• Section 4.12: Initial and final objects
  • Definition 4.12.1
• Section 4.13: Monomorphisms and Epimorphisms
  • Definition 4.13.1
  • Example 4.13.2
  • Lemma 4.13.3
• Section 4.14: Limits and colimits
  • Definition 4.14.1
  • Definition 4.14.2
  • Remark 4.14.3
  • Remark 4.14.4
  • Remark 4.14.5
  • Definition 4.14.6
  • Definition 4.14.7
  • Lemma 4.14.8
  • Lemma 4.14.9
  • Lemma 4.14.10
  • Lemma 4.14.11
  • Lemma 4.14.12 slogan
• Section 4.15: Limits and colimits in the category of sets
• Section 4.16: Connected limits
  • Definition 4.16.1
  • Lemma 4.16.2
  • Lemma 4.16.3
• Section 4.17: Cofinal and initial categories
  • Definition 4.17.1
  • Lemma 4.17.2
  • Definition 4.17.3
  • Lemma 4.17.4
  • Lemma 4.17.5
  • Lemma 4.17.6
• Section 4.18: Finite limits and colimits
  • Lemma 4.18.1
  • Lemma 4.18.2
  • Lemma 4.18.3
  • Lemma 4.18.4
  • Lemma 4.18.5
  • Lemma 4.18.6
  • Lemma 4.18.7
• Section 4.19: Filtered colimits
  • Definition 4.19.1
  • Lemma 4.19.2
  • Lemma 4.19.3
  • Lemma 4.19.4
  • Lemma 4.19.5
  • Lemma 4.19.6
  • Lemma 4.19.7
  • Lemma 4.19.8
  • Lemma 4.19.9
• Section 4.20: Cofiltered limits
  • Definition 4.20.1
• Section 4.21: Limits and colimits over preordered sets
  • Definition 4.21.1
  • Definition 4.21.2
  • Remark 4.21.3
  • Definition 4.21.4
  • Lemma 4.21.5
  • Remark 4.21.6
  • Lemma 4.21.7
• Section 4.22: Essentially constant systems
  • Definition 4.22.1
  • Definition 4.22.2
  • Lemma 4.22.3
  • Remark 4.22.4
  • Remark 4.22.5
  • Example 4.22.6
  • Remark 4.22.7
  • Lemma 4.22.8
  • Lemma 4.22.9
  • Lemma 4.22.10
  • Lemma 4.22.11
  • Lemma 4.22.12
  • Lemma 4.22.13
• Section 4.23: Exact functors
  • Definition 4.23.1
  • Lemma 4.23.2
  • Lemma 4.23.3
• Section 4.24: Adjoint functors
  • Definition 4.24.1
  • Lemma 4.24.2
  • Lemma 4.24.3 reference
  • Lemma 4.24.4
  • Lemma 4.24.5
  • Lemma 4.24.6
  • Lemma 4.24.7
  • Lemma 4.24.8
  • Lemma 4.24.9
    • Equation 4.24.9.1
• Section 4.25: A criterion for representability
  • Lemma 4.25.1
  • Remark 4.25.2
  • Theorem 4.25.3: Adjoint functor theorem
• Section 4.26: Categorically compact objects
  • Definition 4.26.1
  • Lemma 4.26.2
• Section 4.27: Localization in categories
  • Definition 4.27.1
  • Lemma 4.27.2
  • Remark 4.27.3
  • Definition 4.27.4
  • Lemma 4.27.5
  • Lemma 4.27.6
  • Remark 4.27.7
    • Equation 4.27.7.1
  • Lemma 4.27.8
  • Lemma 4.27.9
  • Lemma 4.27.10
  • Lemma 4.27.11
  • Definition 4.27.12
  • Lemma 4.27.13
  • Lemma 4.27.14
  • Remark 4.27.15
    • Equation 4.27.15.1
  • Lemma 4.27.16
  • Lemma 4.27.17
  • Lemma 4.27.18
  • Lemma 4.27.19
  • Definition 4.27.20
  • Lemma 4.27.21
• Section 4.28: Formal properties
  • Definition 4.28.1
  • Lemma 4.28.2
• Section 4.29: 2-categories
  • Definition 4.29.1
  • Definition 4.29.2
  • Remark 4.29.3
  • Definition 4.29.4
  • Definition 4.29.5
• Section 4.30: (2, 1)-categories
  • Definition 4.30.1
  • Example 4.30.2
  • Remark 4.30.3
• Section 4.31: 2-fibre products
  • Definition 4.31.1
  • Definition 4.31.2
  • Example 4.31.3
  • Lemma 4.31.4
  • Remark 4.31.5
  • Lemma 4.31.6
  • Lemma 4.31.7
  • Lemma 4.31.8
  • Lemma 4.31.9
  • Lemma 4.31.10
  • Lemma 4.31.11
  • Lemma 4.31.12
  • Lemma 4.31.13
  • Lemma 4.31.14
• Section 4.32: Categories over categories
  • Definition 4.32.1
  • Definition 4.32.2
  • Lemma 4.32.3
  • Example 4.32.4
  • Lemma 4.32.5
• Section 4.33: Fibred categories
  • Definition 4.33.1
  • Lemma 4.33.2
  • Lemma 4.33.3
  • Lemma 4.33.4
  • Definition 4.33.5
  • Definition 4.33.6
  • Lemma 4.33.7
  • Lemma 4.33.8
  • Definition 4.33.9
  • Lemma 4.33.10
  • Lemma 4.33.11
  • Lemma 4.33.12
  • Lemma 4.33.13
  • Lemma 4.33.14
• Section 4.34: Inertia
  • Lemma 4.34.1
  • Definition 4.34.2
    • Equation 4.34.2.1
    • Equation 4.34.2.2
    • Equation 4.34.2.3
    • Equation 4.34.2.4
  • Lemma 4.34.3
• Section 4.35: Categories fibred in groupoids
  • Definition 4.35.1
    • Equation 4.35.1.1
  • Lemma 4.35.2
  • Lemma 4.35.3
  • Example 4.35.4
  • Example 4.35.5
  • Definition 4.35.6
  • Lemma 4.35.7
  • Remark 4.35.8
  • Lemma 4.35.9
  • Lemma 4.35.10
  • Lemma 4.35.11
  • Lemma 4.35.12
  • Lemma 4.35.13
  • Lemma 4.35.14
  • Lemma 4.35.15
  • Lemma 4.35.16
  • Lemma 4.35.17
• Section 4.36: Presheaves of categories
  • Example 4.36.1
  • Definition 4.36.2
  • Lemma 4.36.3
  • Lemma 4.36.4
• Section 4.37: Presheaves of groupoids
  • Example 4.37.1
  • Definition 4.37.2
  • Lemma 4.37.3
• Section 4.38: Categories fibred in sets
  • Definition 4.38.1
  • Definition 4.38.2
  • Definition 4.38.3
  • Lemma 4.38.4
  • Example 4.38.5
  • Lemma 4.38.6 slogan
  • Example 4.38.7
• Section 4.39: Categories fibred in setoids
  • Definition 4.39.1
  • Definition 4.39.2
  • Definition 4.39.3
  • Lemma 4.39.4
  • Lemma 4.39.5
  • Lemma 4.39.6
  • Lemma 4.39.7
  • Lemma 4.39.8
• Section 4.40: Representable categories fibred in groupoids
  • Definition 4.40.1
  • Lemma 4.40.2
  • Lemma 4.40.3
• Section 4.41: The 2-Yoneda lemma
  • Lemma 4.41.1: 2-Yoneda lemma for fibred categories
  • Lemma 4.41.2: 2-Yoneda lemma
  • Remark 4.41.3
• Section 4.42: Representable 1-morphisms
  • Lemma 4.42.1
  • Lemma 4.42.2
  • Definition 4.42.3
  • Lemma 4.42.4
  • Lemma 4.42.5
  • Lemma 4.42.6
• Section 4.43: Monoidal categories
  • Definition 4.43.1
  • Definition 4.43.2
  • Lemma 4.43.3
  • Definition 4.43.4
  • Definition 4.43.5
  • Lemma 4.43.6
  • Remark 4.43.7
  • Lemma 4.43.8
  • Definition 4.43.9
  • Lemma 4.43.10
  • Definition 4.43.11
  • Remark 4.43.12
• Section 4.44: Categories of dotted arrows
  • Definition 4.44.1
    • Equation 4.44.1.1
  • Lemma 4.44.2
  • Lemma 4.44.3