20 Cohomology of Sheaves

Section 20.1: Introduction
Section 20.2: Cohomology of sheaves
- Equation 20.2.0.1
- Equation 20.2.0.2
- Equation 20.2.0.3
- Equation 20.2.0.4
Section 20.3: Derived functors
- Equation 20.3.0.1
- Equation 20.3.0.2
- Equation 20.3.0.3
- Equation 20.3.0.4
Section 20.4: First cohomology and torsors
- Definition 20.4.1
- Lemma 20.4.2
- Lemma 20.4.3
Section 20.5: First cohomology and extensions
- Lemma 20.5.1
Section 20.6: First cohomology and invertible sheaves
- Lemma 20.6.1
Section 20.7: Locality of cohomology
- Lemma 20.7.1
  - Equation 20.7.1.1
- Lemma 20.7.2
- Lemma 20.7.3
- Lemma 20.7.4
- Remark 20.7.5
Section 20.8: Mayer-Vietoris
- Lemma 20.8.1 slogan
- Lemma 20.8.2: Mayer-Vietoris
- Lemma 20.8.3: Relative Mayer-Vietoris
Section 20.9: The Čech complex and Čech cohomology
- Equation 20.9.0.1
- Definition 20.9.1
- Lemma 20.9.2
- Lemma 20.9.3
Section 20.10: Čech cohomology as a functor on presheaves
- Equation 20.10.0.1
- Lemma 20.10.1
- Lemma 20.10.2
- Lemma 20.10.3
- Lemma 20.10.4
- Lemma 20.10.5
Section 20.11: Čech cohomology and cohomology
- Lemma 20.11.1
- Lemma 20.11.2
- Lemma 20.11.3
- Lemma 20.11.4
- Lemma 20.11.5
- Lemma 20.11.6
- Lemma 20.11.7
- Lemma 20.11.8 slogan
- Lemma 20.11.9
- Lemma 20.11.10
- Lemma 20.11.11
- Lemma 20.11.12
Section 20.12: Flasque sheaves
- Definition 20.12.1
- Lemma 20.12.2
- Lemma 20.12.3
- Lemma 20.12.4
- Lemma 20.12.5
- Lemma 20.12.6
Section 20.13: The Leray spectral sequence
- Lemma 20.13.1
- Remark 20.13.2
- Lemma 20.13.3
- Lemma 20.13.4: Leray spectral sequence
- Remark 20.13.5
- Lemma 20.13.6
- Lemma 20.13.7 slogan
- Lemma 20.13.8: Relative Leray spectral sequence
Section 20.14: Functoriality of cohomology
- Lemma 20.14.1
  - Equation 20.14.1.1
  - Equation 20.14.1.2
- Remark 20.14.2
  - Equation 20.14.2.1
Section 20.15: Refinements and Čech cohomology
- Equation 20.15.0.1
- Lemma 20.15.1
Section 20.16: Cohomology on Hausdorff quasi-compact spaces
- Lemma 20.16.1
- Lemma 20.16.2
- Lemma 20.16.3 reference
Section 20.17: The base change map
- Lemma 20.17.1
- Remark 20.17.2
Section 20.18: Proper base change in topology
- Lemma 20.18.1
- Theorem 20.18.2: Proper base change reference
- Lemma 20.18.3: Proper base change for sheaves of sets
Section 20.19: Cohomology and colimits
- Lemma 20.19.1
- Lemma 20.19.2
Section 20.20: Vanishing on Noetherian topological spaces
- Lemma 20.20.1
- Lemma 20.20.2
- Lemma 20.20.3 reference
- Lemma 20.20.4 reference
- Example 20.20.5
- Lemma 20.20.6
- Proposition 20.20.7: Grothendieck reference
Section 20.21: Cohomology with support in a closed subset
- Lemma 20.21.1
Section 20.22: Cohomology on spectral spaces
- Lemma 20.22.1
- Lemma 20.22.2
- Lemma 20.22.3
- Proposition 20.22.4 reference
Section 20.23: The alternating Čech complex
- Definition 20.23.1
- Definition 20.23.2
- Lemma 20.23.3
- Lemma 20.23.4
- Remark 20.23.5
- Lemma 20.23.6
  - Equation 20.23.6.1
  - Equation 20.23.6.2
- Lemma 20.23.7
Section 20.24: Alternative view of the Čech complex
- Lemma 20.24.1
- Definition 20.24.2
- Remark 20.24.3
Section 20.25: Čech cohomology of complexes
- Equation 20.25.0.1
- Equation 20.25.0.2
- Lemma 20.25.1
- Lemma 20.25.2
- Remark 20.25.3
  - Equation 20.25.3.1
  - Equation 20.25.3.2
- Lemma 20.25.4
- Lemma 20.25.5
Section 20.26: Flat resolutions
- Lemma 20.26.1
- Definition 20.26.2
- Lemma 20.26.3
- Lemma 20.26.4
- Lemma 20.26.5
- Lemma 20.26.6
- Lemma 20.26.7
- Lemma 20.26.8
- Lemma 20.26.9
- Lemma 20.26.10
- Lemma 20.26.11
- Lemma 20.26.12
- Lemma 20.26.13
- Definition 20.26.14
- Definition 20.26.15
- Lemma 20.26.16 slogan
- Lemma 20.26.17
Section 20.27: Derived pullback
- Lemma 20.27.1
- Lemma 20.27.2
- Lemma 20.27.3
- Lemma 20.27.4
- Lemma 20.27.5
Section 20.28: Cohomology of unbounded complexes
- Lemma 20.28.1
- Lemma 20.28.2
- Remark 20.28.3
- Remark 20.28.4
- Remark 20.28.5
- Lemma 20.28.6
- Remark 20.28.7
Section 20.29: Cohomology of filtered complexes
- Lemma 20.29.1
- Remark 20.29.2
- Example 20.29.3
- Example 20.29.4
- Lemma 20.29.5
Section 20.30: Godement resolution
- Lemma 20.30.1
- Lemma 20.30.2
Section 20.31: Cup product
- Lemma 20.31.1
- Remark 20.31.2
- Lemma 20.31.3
- Lemma 20.31.4
- Lemma 20.31.5
- Lemma 20.31.6
- Lemma 20.31.7
Section 20.32: Some properties of K-injective complexes
- Lemma 20.32.1
- Lemma 20.32.2
- Lemma 20.32.3
- Lemma 20.32.4
- Lemma 20.32.5
- Lemma 20.32.6
- Lemma 20.32.7
- Lemma 20.32.8
- Lemma 20.32.9
Section 20.33: Unbounded Mayer-Vietoris
- Lemma 20.33.1
- Lemma 20.33.2
- Lemma 20.33.3
- Lemma 20.33.4
- Lemma 20.33.5
- Lemma 20.33.6
- Lemma 20.33.7
Section 20.34: Cohomology with support in a closed subset, II
- Lemma 20.34.1
- Lemma 20.34.2
- Lemma 20.34.3
- Lemma 20.34.4
- Lemma 20.34.5
- Lemma 20.34.6
- Lemma 20.34.7
- Lemma 20.34.8
- Remark 20.34.9
- Remark 20.34.10
- Lemma 20.34.11
- Remark 20.34.12
- Lemma 20.34.13
Section 20.35: Inverse systems and cohomology, I
- Lemma 20.35.1
- Lemma 20.35.2
- Lemma 20.35.3
- Lemma 20.35.4
Section 20.36: Inverse systems and cohomology, II
- Lemma 20.36.1
- Lemma 20.36.2
- Lemma 20.36.3
- Lemma 20.36.4
- Lemma 20.36.5
- Remark 20.36.6
Section 20.37: Derived limits
- Lemma 20.37.1
- Lemma 20.37.2
- Remark 20.37.3
  - Equation 20.37.3.1
- Lemma 20.37.4
- Lemma 20.37.5
- Lemma 20.37.6
- Lemma 20.37.7 reference
- Lemma 20.37.8
- Lemma 20.37.9
- Lemma 20.37.10
- Lemma 20.37.11
Section 20.38: Producing K-injective resolutions
- Equation 20.38.0.1
- Lemma 20.38.1
- Lemma 20.38.2
Section 20.39: Inverse systems and cohomology, III
- Lemma 20.39.1
- Lemma 20.39.2
- Example 20.39.3
Section 20.40: Čech cohomology of unbounded complexes
- Equation 20.40.0.1
- Lemma 20.40.1
- Lemma 20.40.2
Section 20.41: Hom complexes
- Equation 20.41.0.1
- Lemma 20.41.1
- Lemma 20.41.2
- Lemma 20.41.3
- Lemma 20.41.4
- Lemma 20.41.5
- Lemma 20.41.6
- Lemma 20.41.7
- Lemma 20.41.8
Section 20.42: Internal hom in the derived category
- Equation 20.42.0.1
- Lemma 20.42.1
- Lemma 20.42.2
- Lemma 20.42.3
- Lemma 20.42.4
- Lemma 20.42.5
- Lemma 20.42.6
- Lemma 20.42.7
- Lemma 20.42.8
  - Equation 20.42.8.1
- Lemma 20.42.9
- Remark 20.42.10
- Remark 20.42.11
- Remark 20.42.12
- Remark 20.42.13
- Remark 20.42.14
Section 20.43: Ext sheaves
Section 20.44: Global derived hom
Section 20.45: Glueing complexes
- Lemma 20.45.1
- Lemma 20.45.2
- Situation 20.45.3
- Lemma 20.45.4
- Remark 20.45.5
- Lemma 20.45.6
- Lemma 20.45.7
- Theorem 20.45.8: BBD gluing lemma reference
Section 20.46: Strictly perfect complexes
- Definition 20.46.1
- Lemma 20.46.2
- Lemma 20.46.3
- Lemma 20.46.4
- Lemma 20.46.5
- Lemma 20.46.6
- Lemma 20.46.7
- Lemma 20.46.8
- Lemma 20.46.9
- Lemma 20.46.10
- Lemma 20.46.11
Section 20.47: Pseudo-coherent modules
- Definition 20.47.1
- Lemma 20.47.2
- Lemma 20.47.3
- Lemma 20.47.4
- Lemma 20.47.5
- Lemma 20.47.6
- Lemma 20.47.7
- Lemma 20.47.8
- Lemma 20.47.9
- Lemma 20.47.10
Section 20.48: Tor dimension
- Definition 20.48.1
- Lemma 20.48.2
- Lemma 20.48.3
- Lemma 20.48.4
- Lemma 20.48.5
- Lemma 20.48.6
- Lemma 20.48.7
- Lemma 20.48.8
Section 20.49: Perfect complexes
- Definition 20.49.1
- Lemma 20.49.2
- Lemma 20.49.3
- Lemma 20.49.4
- Lemma 20.49.5
- Lemma 20.49.6
- Lemma 20.49.7
- Lemma 20.49.8
- Lemma 20.49.9
- Lemma 20.49.10
- Lemma 20.49.11
Section 20.50: Duals
- Lemma 20.50.1
- Example 20.50.2
- Lemma 20.50.3
- Lemma 20.50.4
- Lemma 20.50.5
- Lemma 20.50.6
- Example 20.50.7
- Lemma 20.50.8
Section 20.51: Miscellany
- Lemma 20.51.1
- Lemma 20.51.2
- Lemma 20.51.3
- Lemma 20.51.4
Section 20.52: Invertible objects in the derived category
- Lemma 20.52.1
- Lemma 20.52.2
Section 20.53: Compact objects
- Lemma 20.53.1
- Lemma 20.53.2
Section 20.54: Projection formula
- Lemma 20.54.1
- Lemma 20.54.2
  - Equation 20.54.2.1
- Lemma 20.54.3
- Lemma 20.54.4
- Remark 20.54.5
Section 20.55: An operator introduced by Berthelot and Ogus
- Lemma 20.55.1
- Situation 20.55.2
- Lemma 20.55.3
- Lemma 20.55.4
- Lemma 20.55.5
- Lemma 20.55.6
- Lemma 20.55.7
  - Equation 20.55.7.1
  - Equation 20.55.7.2
- Lemma 20.55.8
- Lemma 20.55.9
- Lemma 20.55.10