67 Morphisms of Algebraic Spaces

• Section 67.1: Introduction
• Section 67.2: Conventions
• Section 67.3: Properties of representable morphisms
• Section 67.4: Separation axioms
  • Lemma 67.4.1
  • Definition 67.4.2
  • Lemma 67.4.3
  • Lemma 67.4.4
  • Lemma 67.4.5 slogan
  • Lemma 67.4.6 slogan
  • Lemma 67.4.7
  • Lemma 67.4.8
  • Lemma 67.4.9
  • Lemma 67.4.10
  • Lemma 67.4.11
  • Lemma 67.4.12
  • Lemma 67.4.13
• Section 67.5: Surjective morphisms
  • Lemma 67.5.1
  • Definition 67.5.2
  • Lemma 67.5.3
  • Lemma 67.5.4
  • Lemma 67.5.5
• Section 67.6: Open morphisms
  • Lemma 67.6.1
  • Definition 67.6.2
  • Lemma 67.6.3
  • Lemma 67.6.4
  • Lemma 67.6.5
  • Lemma 67.6.6
• Section 67.7: Submersive morphisms
  • Lemma 67.7.1
  • Definition 67.7.2
  • Lemma 67.7.3
  • Lemma 67.7.4
• Section 67.8: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 67.8.1
  • Definition 67.8.2
  • Lemma 67.8.3
  • Lemma 67.8.4
  • Lemma 67.8.5
  • Lemma 67.8.6 slogan
  • Lemma 67.8.7
  • Lemma 67.8.8 slogan
  • Lemma 67.8.9
  • Lemma 67.8.10
• Section 67.9: Universally closed morphisms
  • Lemma 67.9.1
  • Definition 67.9.2
  • Lemma 67.9.3
  • Lemma 67.9.4
  • Lemma 67.9.5
  • Example 67.9.6
  • Lemma 67.9.7
  • Lemma 67.9.8
• Section 67.10: Monomorphisms
  • Definition 67.10.1
  • Lemma 67.10.2
  • Lemma 67.10.3
  • Lemma 67.10.4
  • Lemma 67.10.5
  • Lemma 67.10.6
  • Lemma 67.10.7
  • Lemma 67.10.8
  • Lemma 67.10.9
• Section 67.11: Pushforward of quasi-coherent sheaves
  • Lemma 67.11.1
    • Equation 67.11.1.1
  • Lemma 67.11.2
• Section 67.12: Immersions
  • Lemma 67.12.1
  • Lemma 67.12.2
  • Lemma 67.12.3
  • Remark 67.12.4
  • Remark 67.12.5
  • Lemma 67.12.6
• Section 67.13: Closed immersions
  • Lemma 67.13.1
  • Definition 67.13.2
  • Lemma 67.13.3
  • Lemma 67.13.4
  • Lemma 67.13.5
  • Lemma 67.13.6
  • Lemma 67.13.7
• Section 67.14: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
  • Lemma 67.14.1
  • Lemma 67.14.2
  • Lemma 67.14.3
  • Definition 67.14.4
  • Lemma 67.14.5
  • Lemma 67.14.6
• Section 67.15: Supports of modules
  • Lemma 67.15.1
  • Lemma 67.15.2
  • Lemma 67.15.3
  • Definition 67.15.4
• Section 67.16: Scheme theoretic image
  • Lemma 67.16.1 slogan
  • Definition 67.16.2
  • Lemma 67.16.3
  • Lemma 67.16.4
  • Lemma 67.16.5
  • Lemma 67.16.6
  • Lemma 67.16.7
• Section 67.17: Scheme theoretic closure and density
  • Lemma 67.17.1
  • Lemma 67.17.2
  • Definition 67.17.3
  • Lemma 67.17.4
  • Lemma 67.17.5
  • Lemma 67.17.6
  • Lemma 67.17.7
  • Lemma 67.17.8
• Section 67.18: Dominant morphisms
  • Definition 67.18.1
• Section 67.19: Universally injective morphisms
  • Lemma 67.19.1
  • Lemma 67.19.2
  • Definition 67.19.3
  • Remark 67.19.4
  • Lemma 67.19.5
  • Lemma 67.19.6
  • Lemma 67.19.7
• Section 67.20: Affine morphisms
  • Lemma 67.20.1
  • Definition 67.20.2
  • Lemma 67.20.3
  • Lemma 67.20.4
  • Lemma 67.20.5
  • Lemma 67.20.6
  • Lemma 67.20.7
  • Definition 67.20.8
  • Remark 67.20.9
  • Lemma 67.20.10
  • Lemma 67.20.11
  • Lemma 67.20.12
• Section 67.21: Quasi-affine morphisms
  • Lemma 67.21.1
  • Definition 67.21.2
  • Lemma 67.21.3
  • Lemma 67.21.4
  • Lemma 67.21.5
  • Lemma 67.21.6
• Section 67.22: Types of morphisms étale local on source-and-target
  • Lemma 67.22.1
  • Definition 67.22.2
  • Remark 67.22.3
  • Remark 67.22.4
  • Lemma 67.22.5
  • Definition 67.22.6
  • Lemma 67.22.7
  • Remark 67.22.8
• Section 67.23: Morphisms of finite type
  • Definition 67.23.1
  • Lemma 67.23.2
  • Lemma 67.23.3
  • Lemma 67.23.4
  • Lemma 67.23.5
  • Lemma 67.23.6
  • Lemma 67.23.7
• Section 67.24: Points and geometric points
  • Lemma 67.24.1
  • Lemma 67.24.2
• Section 67.25: Points of finite type
  • Lemma 67.25.1
  • Definition 67.25.2
  • Lemma 67.25.3
  • Lemma 67.25.4
  • Lemma 67.25.5
  • Lemma 67.25.6
  • Lemma 67.25.7
• Section 67.26: Nagata spaces
  • Lemma 67.26.1
  • Lemma 67.26.2
• Section 67.27: Quasi-finite morphisms
  • Definition 67.27.1
  • Lemma 67.27.2
  • Lemma 67.27.3
  • Lemma 67.27.4
  • Lemma 67.27.5
  • Lemma 67.27.6
  • Lemma 67.27.7
  • Lemma 67.27.8
  • Lemma 67.27.9
  • Lemma 67.27.10
• Section 67.28: Morphisms of finite presentation
  • Definition 67.28.1
  • Lemma 67.28.2
  • Lemma 67.28.3
  • Lemma 67.28.4
  • Lemma 67.28.5
  • Lemma 67.28.6
  • Lemma 67.28.7
  • Lemma 67.28.8
  • Lemma 67.28.9
  • Lemma 67.28.10
  • Lemma 67.28.11
  • Lemma 67.28.12
• Section 67.29: Constructible sets
  • Lemma 67.29.1
  • Theorem 67.29.2: Chevalley's Theorem
• Section 67.30: Flat morphisms
  • Definition 67.30.1
  • Lemma 67.30.2
  • Lemma 67.30.3
  • Lemma 67.30.4
  • Lemma 67.30.5
  • Lemma 67.30.6
  • Lemma 67.30.7
  • Lemma 67.30.8
  • Lemma 67.30.9
  • Lemma 67.30.10
  • Lemma 67.30.11
  • Lemma 67.30.12
• Section 67.31: Flat modules
  • Lemma 67.31.1
  • Definition 67.31.2
  • Lemma 67.31.3
  • Lemma 67.31.4
  • Lemma 67.31.5
  • Lemma 67.31.6
• Section 67.32: Generic flatness
  • Proposition 67.32.1
  • Proposition 67.32.2
• Section 67.33: Relative dimension
  • Definition 67.33.1
  • Definition 67.33.2
  • Lemma 67.33.3
  • Lemma 67.33.4
  • Lemma 67.33.5
• Section 67.34: Morphisms and dimensions of fibres
  • Lemma 67.34.1
  • Lemma 67.34.2
  • Lemma 67.34.3
  • Lemma 67.34.4
  • Lemma 67.34.5
  • Lemma 67.34.6
  • Lemma 67.34.7
  • Lemma 67.34.8
• Section 67.35: The dimension formula
  • Lemma 67.35.1
  • Lemma 67.35.2
• Section 67.36: Syntomic morphisms
  • Definition 67.36.1
  • Lemma 67.36.2
  • Lemma 67.36.3
  • Lemma 67.36.4
  • Lemma 67.36.5
  • Lemma 67.36.6
  • Lemma 67.36.7
• Section 67.37: Smooth morphisms
  • Definition 67.37.1
  • Lemma 67.37.2
  • Lemma 67.37.3
  • Lemma 67.37.4
  • Lemma 67.37.5
  • Lemma 67.37.6
  • Lemma 67.37.7
  • Lemma 67.37.8
  • Lemma 67.37.9
  • Lemma 67.37.10
• Section 67.38: Unramified morphisms
  • Definition 67.38.1
  • Lemma 67.38.2
  • Lemma 67.38.3
  • Lemma 67.38.4
  • Lemma 67.38.5
  • Lemma 67.38.6
  • Lemma 67.38.7
  • Lemma 67.38.8
  • Lemma 67.38.9
  • Lemma 67.38.10
  • Lemma 67.38.11
• Section 67.39: Étale morphisms
  • Definition 67.39.1
  • Lemma 67.39.2
  • Lemma 67.39.3
  • Lemma 67.39.4
  • Lemma 67.39.5
  • Lemma 67.39.6
  • Lemma 67.39.7
  • Lemma 67.39.8 slogan
  • Lemma 67.39.9
  • Lemma 67.39.10
  • Lemma 67.39.11
  • Lemma 67.39.12
• Section 67.40: Proper morphisms
  • Definition 67.40.1
  • Lemma 67.40.2
  • Lemma 67.40.3
  • Lemma 67.40.4
  • Lemma 67.40.5
  • Lemma 67.40.6
  • Lemma 67.40.7
  • Lemma 67.40.8
  • Lemma 67.40.9
• Section 67.41: Valuative criteria
  • Definition 67.41.1
  • Lemma 67.41.2
  • Lemma 67.41.3
  • Lemma 67.41.4
  • Lemma 67.41.5
  • Example 67.41.6
  • Lemma 67.41.7
  • Lemma 67.41.8
• Section 67.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 67.42.1
  • Lemma 67.42.2
  • Lemma 67.42.3
  • Lemma 67.42.4
  • Lemma 67.42.5
    • Equation 67.42.5.1
• Section 67.43: Valuative criterion of separatedness
  • Lemma 67.43.1
  • Lemma 67.43.2: Valuative criterion separatedness
  • Lemma 67.43.3
• Section 67.44: Valuative criterion of properness
  • Lemma 67.44.1: Valuative criterion for properness
• Section 67.45: Integral and finite morphisms
  • Lemma 67.45.1
  • Definition 67.45.2
  • Lemma 67.45.3
  • Lemma 67.45.4
  • Lemma 67.45.5
  • Lemma 67.45.6
  • Lemma 67.45.7
  • Lemma 67.45.8
  • Lemma 67.45.9
  • Lemma 67.45.10
  • Lemma 67.45.11
  • Lemma 67.45.12
• Section 67.46: Finite locally free morphisms
  • Lemma 67.46.1
  • Definition 67.46.2
  • Lemma 67.46.3
  • Lemma 67.46.4
  • Lemma 67.46.5
  • Lemma 67.46.6
• Section 67.47: Rational maps
  • Definition 67.47.1
  • Definition 67.47.2
  • Definition 67.47.3
  • Definition 67.47.4
  • Lemma 67.47.5
  • Definition 67.47.6
  • Definition 67.47.7
  • Lemma 67.47.8
• Section 67.48: Relative normalization of algebraic spaces
  • Lemma 67.48.1
  • Definition 67.48.2
  • Definition 67.48.3
  • Lemma 67.48.4
  • Lemma 67.48.5
  • Lemma 67.48.6
  • Lemma 67.48.7
  • Lemma 67.48.8
  • Lemma 67.48.9
  • Lemma 67.48.10
  • Lemma 67.48.11
• Section 67.49: Normalization
  • Lemma 67.49.1
  • Lemma 67.49.2
  • Lemma 67.49.3
  • Lemma 67.49.4
  • Lemma 67.49.5
  • Definition 67.49.6
  • Lemma 67.49.7
  • Lemma 67.49.8
  • Lemma 67.49.9
• Section 67.50: Separated, locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 67.50.1
  • Proposition 67.50.2
• Section 67.51: Applications
  • Lemma 67.51.1
  • Lemma 67.51.2 slogan
• Section 67.52: Zariski's Main Theorem (representable case)
  • Lemma 67.52.1
  • Lemma 67.52.2
• Section 67.53: Universal homeomorphisms
  • Lemma 67.53.1
  • Definition 67.53.2
  • Example 67.53.3
  • Lemma 67.53.4
  • Lemma 67.53.5
  • Lemma 67.53.6
  • Lemma 67.53.7