69 Limits of Algebraic Spaces

• Section 69.1: Introduction
• Section 69.2: Conventions
• Section 69.3: Morphisms of finite presentation
  • Definition 69.3.1
    • Equation 69.3.1.1
  • Lemma 69.3.2
  • Lemma 69.3.3
  • Lemma 69.3.4
  • Lemma 69.3.5
  • Lemma 69.3.6
  • Lemma 69.3.7
  • Lemma 69.3.8
  • Lemma 69.3.9
  • Proposition 69.3.10
  • Remark 69.3.11
  • Lemma 69.3.12
• Section 69.4: Limits of algebraic spaces
  • Lemma 69.4.1
    • Equation 69.4.1.1
  • Lemma 69.4.2
  • Lemma 69.4.3
  • Lemma 69.4.4
  • Lemma 69.4.5
• Section 69.5: Descending properties
  • Lemma 69.5.1
  • Lemma 69.5.2
  • Lemma 69.5.3
  • Lemma 69.5.4
  • Situation 69.5.5
  • Lemma 69.5.6
  • Lemma 69.5.7
  • Lemma 69.5.8
  • Lemma 69.5.9
  • Lemma 69.5.10
    • Equation 69.5.10.1
  • Lemma 69.5.11
  • Lemma 69.5.12
  • Lemma 69.5.13
  • Lemma 69.5.14
  • Lemma 69.5.15
  • Lemma 69.5.16
• Section 69.6: Descending properties of morphisms
  • Situation 69.6.1
  • Lemma 69.6.2
  • Lemma 69.6.3
  • Lemma 69.6.4
  • Lemma 69.6.5
  • Lemma 69.6.6
  • Lemma 69.6.7
  • Lemma 69.6.8
  • Lemma 69.6.9
  • Lemma 69.6.10
  • Lemma 69.6.11
  • Lemma 69.6.12
  • Lemma 69.6.13
  • Lemma 69.6.14
• Section 69.7: Descending relative objects
  • Lemma 69.7.1
  • Lemma 69.7.2
  • Lemma 69.7.3
• Section 69.8: Absolute Noetherian approximation
  • Proposition 69.8.1 reference
    • Equation 69.8.1.1
• Section 69.9: Applications
  • Lemma 69.9.1
  • Lemma 69.9.2
  • Lemma 69.9.3
  • Lemma 69.9.4
  • Lemma 69.9.5
  • Lemma 69.9.6
  • Lemma 69.9.7
  • Lemma 69.9.8
• Section 69.10: Relative approximation
  • Lemma 69.10.1
  • Lemma 69.10.2
• Section 69.11: Finite type closed in finite presentation
  • Lemma 69.11.1
  • Lemma 69.11.2
  • Lemma 69.11.3
  • Lemma 69.11.4 slogan
  • Lemma 69.11.5
  • Lemma 69.11.6
  • Proposition 69.11.7
• Section 69.12: Approximating proper morphisms
  • Lemma 69.12.1
  • Lemma 69.12.2
  • Lemma 69.12.3
• Section 69.13: Embedding into affine space
  • Lemma 69.13.1
  • Remark 69.13.2
  • Lemma 69.13.3
• Section 69.14: Sections with support in a closed subset
  • Lemma 69.14.1
  • Lemma 69.14.2
  • Definition 69.14.3
  • Lemma 69.14.4
  • Lemma 69.14.5
  • Definition 69.14.6
  • Lemma 69.14.7
• Section 69.15: Characterizing affine spaces
  • Lemma 69.15.1
  • Proposition 69.15.2
  • Lemma 69.15.3 reference
  • Lemma 69.15.4
  • Lemma 69.15.5
• Section 69.16: Finite cover by a scheme
  • Proposition 69.16.1
  • Lemma 69.16.2
  • Lemma 69.16.3
  • Lemma 69.16.4
• Section 69.17: Obtaining schemes
  • Lemma 69.17.1
  • Lemma 69.17.2
  • Lemma 69.17.3
  • Lemma 69.17.4
• Section 69.18: Glueing in closed fibres
  • Lemma 69.18.1
  • Lemma 69.18.2
  • Lemma 69.18.3
  • Lemma 69.18.4
• Section 69.19: Application to modifications
  • Lemma 69.19.1
  • Lemma 69.19.2
  • Lemma 69.19.3
• Section 69.20: Universally closed morphisms
  • Lemma 69.20.1
  • Lemma 69.20.2
  • Lemma 69.20.3
• Section 69.21: Noetherian valuative criterion
  • Lemma 69.21.1
    • Equation 69.21.1.1
  • Lemma 69.21.2
  • Lemma 69.21.3
  • Lemma 69.21.4
• Section 69.22: Refined Noetherian valuative criteria
  • Lemma 69.22.1
  • Lemma 69.22.2
  • Lemma 69.22.3
• Section 69.23: Descending finite type spaces
  • Situation 69.23.1
  • Lemma 69.23.2
    • Equation 69.23.2.1
  • Lemma 69.23.3
  • Lemma 69.23.4
  • Remark 69.23.5
  • Lemma 69.23.6
  • Lemma 69.23.7
  • Lemma 69.23.8
  • Lemma 69.23.9