85 Formal Algebraic Spaces

• Section 85.1: Introduction
• Section 85.2: Formal schemes à la EGA
  • Equation 85.2.0.1
  • Equation 85.2.0.2
  • Lemma 85.2.1
  • Lemma 85.2.2 slogan
  • Remark 85.2.3: McQuillan's variant
  • Remark 85.2.4: Sheafification of presheaves of topological spaces reference
• Section 85.3: Conventions and notation
• Section 85.4: Topological rings and modules
  • Example 85.4.1
  • Lemma 85.4.2
  • Lemma 85.4.3
  • Lemma 85.4.4
  • Lemma 85.4.5 reference
  • Lemma 85.4.6
  • Definition 85.4.7
  • Definition 85.4.8
  • Lemma 85.4.9
  • Lemma 85.4.10
  • Definition 85.4.11
  • Lemma 85.4.12
  • Lemma 85.4.13
  • Lemma 85.4.14
  • Lemma 85.4.15
  • Lemma 85.4.16
• Section 85.5: Affine formal algebraic spaces
  • Definition 85.5.1
  • Lemma 85.5.2
  • Lemma 85.5.3
  • Lemma 85.5.4
  • Lemma 85.5.5
  • Lemma 85.5.6
  • Definition 85.5.7
  • Remark 85.5.8
  • Definition 85.5.9
  • Lemma 85.5.10
  • Lemma 85.5.11
• Section 85.6: Countably indexed affine formal algebraic spaces
  • Lemma 85.6.1
  • Definition 85.6.2
  • Lemma 85.6.3
  • Lemma 85.6.4
  • Lemma 85.6.5
• Section 85.7: Formal algebraic spaces
  • Definition 85.7.1
  • Lemma 85.7.2
  • Lemma 85.7.3
  • Remark 85.7.4
  • Remark 85.7.5
• Section 85.8: The reduction
  • Lemma 85.8.1
  • Example 85.8.2
  • Lemma 85.8.3
  • Lemma 85.8.4
• Section 85.9: Colimits of algebraic spaces along thickenings
  • Lemma 85.9.1
  • Example 85.9.2
  • Remark 85.9.3: Weak ideals of definition
  • Remark 85.9.4: Ideals of definition
• Section 85.10: Completion along a closed subset
  • Lemma 85.10.1
  • Lemma 85.10.2
  • Definition 85.10.3
  • Lemma 85.10.4
  • Lemma 85.10.5
  • Lemma 85.10.6
  • Lemma 85.10.7 reference
• Section 85.11: Fibre products
  • Lemma 85.11.1
  • Lemma 85.11.2
  • Lemma 85.11.3
  • Lemma 85.11.4
  • Lemma 85.11.5
• Section 85.12: Separation axioms for formal algebraic spaces
  • Lemma 85.12.1
  • Lemma 85.12.2
  • Definition 85.12.3
  • Lemma 85.12.4
  • Lemma 85.12.5
• Section 85.13: Quasi-compact formal algebraic spaces
  • Lemma 85.13.1
  • Definition 85.13.2
  • Lemma 85.13.3
  • Definition 85.13.4
  • Lemma 85.13.5
• Section 85.14: Quasi-compact and quasi-separated formal algebraic spaces
  • Lemma 85.14.1 reference
  • Remark 85.14.2
  • Lemma 85.14.3
• Section 85.15: Morphisms representable by algebraic spaces
  • Lemma 85.15.1
  • Lemma 85.15.2
  • Lemma 85.15.3
  • Lemma 85.15.4
  • Lemma 85.15.5
  • Lemma 85.15.6
  • Lemma 85.15.7
  • Lemma 85.15.8
  • Lemma 85.15.9
  • Lemma 85.15.10
  • Example 85.15.11
  • Remark 85.15.12: Warning
  • Lemma 85.15.13
  • Lemma 85.15.14
• Section 85.16: Types of formal algebraic spaces
  • Lemma 85.16.1
  • Lemma 85.16.2
    • Equation 85.16.2.1
    • Equation 85.16.2.2
  • Lemma 85.16.3
  • Lemma 85.16.4
  • Definition 85.16.5
  • Lemma 85.16.6
  • Remark 85.16.7: Warning
  • Lemma 85.16.8
  • Lemma 85.16.9
• Section 85.17: Morphisms and continuous ring maps
  • Lemma 85.17.1
  • Situation 85.17.2
    • Equation 85.17.2.1
  • Lemma 85.17.3
  • Remark 85.17.4: Variant for adic-star
  • Remark 85.17.5: Variant for Noetherian
  • Situation 85.17.6
  • Lemma 85.17.7
  • Remark 85.17.8: Variant for adic-star
  • Remark 85.17.9: Variant for Noetherian
  • Remark 85.17.10: Another variant for Noetherian
  • Situation 85.17.11
  • Lemma 85.17.12
  • Remark 85.17.13: Variant for adic-star
  • Remark 85.17.14: Variant for Noetherian
  • Situation 85.17.15
  • Lemma 85.17.16
  • Remark 85.17.17: Variant for adic-star
  • Remark 85.17.18: Variant for Noetherian
• Section 85.18: Taut ring maps and representability by algebraic spaces
  • Lemma 85.18.1
  • Lemma 85.18.2
• Section 85.19: Adic morphisms
  • Definition 85.19.1
  • Lemma 85.19.2
  • Definition 85.19.3
• Section 85.20: Morphisms of finite type
  • Definition 85.20.1
  • Lemma 85.20.2
  • Lemma 85.20.3
  • Lemma 85.20.4
  • Lemma 85.20.5
  • Lemma 85.20.6
  • Example 85.20.7
  • Lemma 85.20.8
  • Lemma 85.20.9
• Section 85.21: Surjective morphisms
  • Definition 85.21.1
  • Lemma 85.21.2
  • Lemma 85.21.3
  • Lemma 85.21.4
• Section 85.22: Monomorphisms
  • Definition 85.22.1
  • Lemma 85.22.2
  • Lemma 85.22.3
  • Lemma 85.22.4
• Section 85.23: Closed immersions
  • Definition 85.23.1
  • Lemma 85.23.2
  • Lemma 85.23.3
  • Lemma 85.23.4
  • Lemma 85.23.5
  • Example 85.23.6
  • Lemma 85.23.7
• Section 85.24: Restricted power series
  • Remark 85.24.1: Universal property restricted power series reference
  • Remark 85.24.2
• Section 85.25: Algebras topologically of finite type
  • Definition 85.25.1
  • Lemma 85.25.2
  • Lemma 85.25.3
  • Remark 85.25.4
  • Lemma 85.25.5
  • Lemma 85.25.6
  • Lemma 85.25.7
  • Lemma 85.25.8
  • Lemma 85.25.9
• Section 85.26: Separation axioms for morphisms
  • Definition 85.26.1
  • Lemma 85.26.2
  • Lemma 85.26.3
  • Lemma 85.26.4
  • Lemma 85.26.5
• Section 85.27: Proper morphisms
  • Definition 85.27.1
  • Lemma 85.27.2
  • Lemma 85.27.3
• Section 85.28: Formal algebraic spaces and fpqc coverings
  • Lemma 85.28.1 slogan
• Section 85.29: Maps out of affine formal schemes
  • Lemma 85.29.1
  • Lemma 85.29.2
  • Lemma 85.29.3
  • Lemma 85.29.4
• Section 85.30: The small étale site of a formal algebraic space
  • Definition 85.30.1
    • Equation 85.30.1.1
  • Lemma 85.30.2
  • Lemma 85.30.3
  • Lemma 85.30.4
  • Lemma 85.30.5
  • Lemma 85.30.6
  • Lemma 85.30.7
• Section 85.31: The structure sheaf
  • Lemma 85.31.1
  • Remark 85.31.2
  • Lemma 85.31.3
  • Remark 85.31.4