89 Formal Deformation Theory

• Section 89.1: Introduction
• Section 89.2: Notation and Conventions
• Section 89.3: The base category
  • Definition 89.3.1
  • Definition 89.3.2
  • Lemma 89.3.3
    • Equation 89.3.3.1
  • Lemma 89.3.4
  • Lemma 89.3.5
  • Definition 89.3.6
  • Example 89.3.7
  • Lemma 89.3.8
  • Definition 89.3.9
  • Lemma 89.3.10
    • Equation 89.3.10.1
    • Equation 89.3.10.2
    • Equation 89.3.10.3
  • Lemma 89.3.11
  • Lemma 89.3.12
  • Example 89.3.13
• Section 89.4: The completed base category
  • Definition 89.4.1
  • Lemma 89.4.2
  • Lemma 89.4.3
  • Lemma 89.4.4
  • Lemma 89.4.5
  • Lemma 89.4.6
  • Lemma 89.4.7
  • Lemma 89.4.8
  • Lemma 89.4.9
• Section 89.5: Categories cofibered in groupoids
  • Definition 89.5.1
  • Remarks 89.5.2
• Section 89.6: Prorepresentable functors and predeformation categories
  • Definition 89.6.1
  • Definition 89.6.2
  • Remark 89.6.3
  • Remark 89.6.4
• Section 89.7: Formal objects and completion categories
  • Definition 89.7.1
  • Lemma 89.7.2
  • Definition 89.7.3
  • Lemma 89.7.4
  • Remark 89.7.5
  • Remark 89.7.6
  • Remark 89.7.7
  • Remark 89.7.8
  • Remark 89.7.9
  • Remark 89.7.10
  • Remark 89.7.11
  • Remark 89.7.12
    • Equation 89.7.12.1
  • Remark 89.7.13
  • Remark 89.7.14
• Section 89.8: Smooth morphisms
  • Definition 89.8.1
  • Lemma 89.8.2
  • Remark 89.8.3
  • Remark 89.8.4
  • Remark 89.8.5
  • Lemma 89.8.6
  • Lemma 89.8.7
  • Lemma 89.8.8
  • Definition 89.8.9
  • Remark 89.8.10
  • Lemma 89.8.11
• Section 89.9: Smooth or unobstructed categories
  • Definition 89.9.1
  • Remark 89.9.2
  • Lemma 89.9.3
  • Lemma 89.9.4
  • Lemma 89.9.5
  • Example 89.9.6
• Section 89.10: Schlessinger's conditions
  • Definition 89.10.1
    • Equation 89.10.1.1
  • Lemma 89.10.2
  • Remark 89.10.3
  • Lemma 89.10.4
  • Lemma 89.10.5
  • Lemma 89.10.6
  • Lemma 89.10.7
  • Lemma 89.10.8
• Section 89.11: Tangent spaces of functors
  • Definition 89.11.1
  • Remark 89.11.2
  • Remark 89.11.3
  • Lemma 89.11.4
  • Lemma 89.11.5
  • Lemma 89.11.6
  • Lemma 89.11.7
  • Lemma 89.11.8
  • Definition 89.11.9
  • Example 89.11.10
  • Example 89.11.11
  • Example 89.11.12
  • Lemma 89.11.13
  • Example 89.11.14
  • Lemma 89.11.15
• Section 89.12: Tangent spaces of predeformation categories
  • Definition 89.12.1
  • Lemma 89.12.2
  • Definition 89.12.3
  • Lemma 89.12.4
  • Remark 89.12.5
  • Lemma 89.12.6
    • Equation 89.12.6.1
    • Equation 89.12.6.2
• Section 89.13: Versal formal objects
  • Lemma 89.13.1
  • Lemma 89.13.2
  • Lemma 89.13.3
  • Lemma 89.13.4
  • Remark 89.13.5
• Section 89.14: Minimal versal formal objects
  • Lemma 89.14.1
  • Lemma 89.14.2
  • Lemma 89.14.3
  • Definition 89.14.4
  • Lemma 89.14.5
• Section 89.15: Miniversal formal objects and tangent spaces
  • Equation 89.15.0.1
  • Equation 89.15.0.2
  • Lemma 89.15.1
  • Lemma 89.15.2
  • Example 89.15.3
  • Lemma 89.15.4
  • Theorem 89.15.5
  • Remark 89.15.6
  • Remark 89.15.7
  • Example 89.15.8
• Section 89.16: Rim-Schlessinger conditions and deformation categories
  • Definition 89.16.1
  • Lemma 89.16.2
  • Lemma 89.16.3
  • Lemma 89.16.4
  • Remark 89.16.5
  • Lemma 89.16.6
  • Lemma 89.16.7
  • Definition 89.16.8
  • Remark 89.16.9
  • Example 89.16.10
  • Lemma 89.16.11
  • Lemma 89.16.12
• Section 89.17: Lifts of objects
  • Definition 89.17.1
  • Remark 89.17.2
  • Remark 89.17.3
  • Remark 89.17.4
  • Lemma 89.17.5
    • Equation 89.17.5.1
    • Equation 89.17.5.2
    • Equation 89.17.5.3
  • Remark 89.17.6
• Section 89.18: Schlessinger's theorem on prorepresentable functors
  • Lemma 89.18.1
  • Theorem 89.18.2
• Section 89.19: Infinitesimal automorphisms
  • Definition 89.19.1
  • Definition 89.19.2
  • Remark 89.19.3
  • Remark 89.19.4
  • Definition 89.19.5
  • Lemma 89.19.6
  • Lemma 89.19.7
  • Remark 89.19.8
  • Lemma 89.19.9
  • Lemma 89.19.10
  • Lemma 89.19.11
  • Lemma 89.19.12
  • Lemma 89.19.13
• Section 89.20: Applications
  • Lemma 89.20.1
  • Lemma 89.20.2
  • Lemma 89.20.3
  • Lemma 89.20.4
• Section 89.21: Groupoids in functors on an arbitrary category
  • Definition 89.21.1
  • Remark 89.21.2
  • Remark 89.21.3
  • Definition 89.21.4
  • Remark 89.21.5
  • Remark 89.21.6
  • Definition 89.21.7
  • Remark 89.21.8
  • Definition 89.21.9
• Section 89.22: Groupoids in functors on the base category
  • Definition 89.22.1
  • Definition 89.22.2
  • Remark 89.22.3
  • Lemma 89.22.4
• Section 89.23: Smooth groupoids in functors on the base category
  • Definition 89.23.1
  • Remark 89.23.2
  • Remark 89.23.3
  • Lemma 89.23.4
• Section 89.24: Deformation categories as quotients of groupoids in functors
  • Lemma 89.24.1
  • Lemma 89.24.2
• Section 89.25: Presentations of categories cofibered in groupoids
  • Definition 89.25.1
  • Lemma 89.25.2
  • Lemma 89.25.3
• Section 89.26: Presentations of deformation categories
  • Lemma 89.26.1
  • Lemma 89.26.2
  • Lemma 89.26.3
  • Theorem 89.26.4
• Section 89.27: Remarks regarding minimality
  • Definition 89.27.1
  • Lemma 89.27.2
  • Lemma 89.27.3
  • Lemma 89.27.4
  • Lemma 89.27.5
  • Lemma 89.27.6
  • Lemma 89.27.7
  • Theorem 89.27.8
• Section 89.28: Uniqueness of versal rings
  • Lemma 89.28.1
  • Lemma 89.28.2
  • Lemma 89.28.3
  • Lemma 89.28.4
• Section 89.29: Change of residue field
  • Situation 89.29.1
    • Equation 89.29.1.1
  • Lemma 89.29.2
  • Lemma 89.29.3
  • Lemma 89.29.4
  • Lemma 89.29.5
  • Lemma 89.29.6