90 Formal Deformation Theory

• Section 90.1: Introduction
• Section 90.2: Notation and Conventions
• Section 90.3: The base category
  • Definition 90.3.1
  • Definition 90.3.2
  • Lemma 90.3.3
    • Equation 90.3.3.1
  • Lemma 90.3.4
  • Lemma 90.3.5
  • Definition 90.3.6
  • Example 90.3.7
  • Lemma 90.3.8
  • Definition 90.3.9
  • Lemma 90.3.10
    • Equation 90.3.10.1
    • Equation 90.3.10.2
    • Equation 90.3.10.3
  • Lemma 90.3.11
  • Lemma 90.3.12
  • Example 90.3.13
• Section 90.4: The completed base category
  • Definition 90.4.1
  • Lemma 90.4.2
  • Lemma 90.4.3
  • Lemma 90.4.4
  • Lemma 90.4.5
  • Lemma 90.4.6
  • Lemma 90.4.7
  • Lemma 90.4.8
  • Lemma 90.4.9
• Section 90.5: Categories cofibered in groupoids
  • Definition 90.5.1
  • Remarks 90.5.2
• Section 90.6: Prorepresentable functors and predeformation categories
  • Definition 90.6.1
  • Definition 90.6.2
  • Remark 90.6.3
  • Remark 90.6.4
• Section 90.7: Formal objects and completion categories
  • Definition 90.7.1
  • Lemma 90.7.2
  • Definition 90.7.3
  • Lemma 90.7.4
  • Remark 90.7.5
  • Remark 90.7.6
  • Remark 90.7.7
  • Remark 90.7.8
  • Remark 90.7.9
  • Remark 90.7.10
  • Remark 90.7.11
  • Remark 90.7.12
    • Equation 90.7.12.1
  • Remark 90.7.13
  • Remark 90.7.14
• Section 90.8: Smooth morphisms
  • Definition 90.8.1
  • Lemma 90.8.2
  • Remark 90.8.3
  • Remark 90.8.4
  • Remark 90.8.5
  • Lemma 90.8.6
  • Lemma 90.8.7
  • Lemma 90.8.8
  • Definition 90.8.9
  • Remark 90.8.10
  • Lemma 90.8.11
• Section 90.9: Smooth or unobstructed categories
  • Definition 90.9.1
  • Remark 90.9.2
  • Lemma 90.9.3
  • Lemma 90.9.4
  • Lemma 90.9.5
  • Example 90.9.6
• Section 90.10: Schlessinger's conditions
  • Definition 90.10.1
    • Equation 90.10.1.1
  • Lemma 90.10.2
  • Remark 90.10.3
  • Lemma 90.10.4
  • Lemma 90.10.5
  • Lemma 90.10.6
  • Lemma 90.10.7
  • Lemma 90.10.8
• Section 90.11: Tangent spaces of functors
  • Definition 90.11.1
  • Remark 90.11.2
  • Remark 90.11.3
  • Lemma 90.11.4
  • Lemma 90.11.5
  • Lemma 90.11.6
  • Lemma 90.11.7
  • Lemma 90.11.8
  • Definition 90.11.9
  • Example 90.11.10
  • Example 90.11.11
  • Example 90.11.12
  • Lemma 90.11.13
  • Example 90.11.14
  • Lemma 90.11.15
• Section 90.12: Tangent spaces of predeformation categories
  • Definition 90.12.1
  • Lemma 90.12.2
  • Definition 90.12.3
  • Lemma 90.12.4
  • Remark 90.12.5
  • Lemma 90.12.6
    • Equation 90.12.6.1
    • Equation 90.12.6.2
• Section 90.13: Versal formal objects
  • Lemma 90.13.1
  • Lemma 90.13.2
  • Lemma 90.13.3
  • Lemma 90.13.4
  • Remark 90.13.5
• Section 90.14: Minimal versal formal objects
  • Lemma 90.14.1
  • Lemma 90.14.2
  • Lemma 90.14.3
  • Definition 90.14.4
  • Lemma 90.14.5
• Section 90.15: Miniversal formal objects and tangent spaces
  • Equation 90.15.0.1
  • Equation 90.15.0.2
  • Lemma 90.15.1
  • Lemma 90.15.2
  • Example 90.15.3
  • Lemma 90.15.4
  • Theorem 90.15.5
  • Remark 90.15.6
  • Remark 90.15.7
  • Example 90.15.8
• Section 90.16: Rim-Schlessinger conditions and deformation categories
  • Definition 90.16.1
  • Lemma 90.16.2
  • Lemma 90.16.3
  • Lemma 90.16.4
  • Remark 90.16.5
  • Lemma 90.16.6
  • Lemma 90.16.7
  • Definition 90.16.8
  • Remark 90.16.9
  • Example 90.16.10
  • Lemma 90.16.11
  • Lemma 90.16.12
• Section 90.17: Lifts of objects
  • Definition 90.17.1
  • Remark 90.17.2
  • Remark 90.17.3
  • Remark 90.17.4
  • Lemma 90.17.5
    • Equation 90.17.5.1
    • Equation 90.17.5.2
    • Equation 90.17.5.3
  • Remark 90.17.6
• Section 90.18: Schlessinger's theorem on prorepresentable functors
  • Lemma 90.18.1
  • Theorem 90.18.2
• Section 90.19: Infinitesimal automorphisms
  • Definition 90.19.1
  • Definition 90.19.2
  • Remark 90.19.3
  • Remark 90.19.4
  • Definition 90.19.5
  • Lemma 90.19.6
  • Lemma 90.19.7
  • Remark 90.19.8
  • Lemma 90.19.9
  • Lemma 90.19.10
  • Lemma 90.19.11
  • Lemma 90.19.12
  • Lemma 90.19.13
• Section 90.20: Applications
  • Lemma 90.20.1
  • Lemma 90.20.2
  • Lemma 90.20.3
  • Lemma 90.20.4
• Section 90.21: Groupoids in functors on an arbitrary category
  • Definition 90.21.1
  • Remark 90.21.2
  • Remark 90.21.3
  • Definition 90.21.4
  • Remark 90.21.5
  • Remark 90.21.6
  • Definition 90.21.7
  • Remark 90.21.8
  • Definition 90.21.9
• Section 90.22: Groupoids in functors on the base category
  • Definition 90.22.1
  • Definition 90.22.2
  • Remark 90.22.3
  • Lemma 90.22.4
• Section 90.23: Smooth groupoids in functors on the base category
  • Definition 90.23.1
  • Remark 90.23.2
  • Remark 90.23.3
  • Lemma 90.23.4
• Section 90.24: Deformation categories as quotients of groupoids in functors
  • Lemma 90.24.1
  • Lemma 90.24.2
• Section 90.25: Presentations of categories cofibered in groupoids
  • Definition 90.25.1
  • Lemma 90.25.2
  • Lemma 90.25.3
• Section 90.26: Presentations of deformation categories
  • Lemma 90.26.1
  • Lemma 90.26.2
  • Lemma 90.26.3
  • Theorem 90.26.4
• Section 90.27: Remarks regarding minimality
  • Definition 90.27.1
  • Lemma 90.27.2
  • Lemma 90.27.3
  • Lemma 90.27.4
  • Lemma 90.27.5
  • Lemma 90.27.6
  • Lemma 90.27.7
  • Theorem 90.27.8
• Section 90.28: Uniqueness of versal rings
  • Lemma 90.28.1
  • Lemma 90.28.2
  • Lemma 90.28.3
  • Lemma 90.28.4
• Section 90.29: Change of residue field
  • Situation 90.29.1
    • Equation 90.29.1.1
  • Lemma 90.29.2
  • Lemma 90.29.3
  • Lemma 90.29.4
  • Lemma 90.29.5
  • Lemma 90.29.6