82 Formal Deformation Theory

• Section 82.1: Introduction
• Section 82.2: Notation and Conventions
• Section 82.3: The base category
  • Definition 82.3.1
  • Definition 82.3.2
  • Lemma 82.3.3
    • Equation 82.3.3.1
  • Lemma 82.3.4
  • Lemma 82.3.5
  • Definition 82.3.6
  • Example 82.3.7
  • Lemma 82.3.8
  • Definition 82.3.9
  • Lemma 82.3.10
    • Equation 82.3.10.1
    • Equation 82.3.10.2
    • Equation 82.3.10.3
  • Lemma 82.3.11
  • Lemma 82.3.12
  • Example 82.3.13
• Section 82.4: The completed base category
  • Definition 82.4.1
  • Lemma 82.4.2
  • Lemma 82.4.3
  • Lemma 82.4.4
  • Lemma 82.4.5
  • Lemma 82.4.6
  • Lemma 82.4.7
  • Lemma 82.4.8
  • Lemma 82.4.9
• Section 82.5: Categories cofibered in groupoids
  • Definition 82.5.1
  • Remarks 82.5.2
• Section 82.6: Prorepresentable functors and predeformation categories
  • Definition 82.6.1
  • Definition 82.6.2
  • Remark 82.6.3
  • Remark 82.6.4
• Section 82.7: Formal objects and completion categories
  • Definition 82.7.1
  • Lemma 82.7.2
  • Definition 82.7.3
  • Lemma 82.7.4
  • Remark 82.7.5
  • Remark 82.7.6
  • Remark 82.7.7
  • Remark 82.7.8
  • Remark 82.7.9
  • Remark 82.7.10
  • Remark 82.7.11
  • Remark 82.7.12
    • Equation 82.7.12.1
  • Remark 82.7.13
  • Remark 82.7.14
• Section 82.8: Smooth morphisms
  • Definition 82.8.1
  • Lemma 82.8.2
  • Remark 82.8.3
  • Remark 82.8.4
  • Remark 82.8.5
  • Lemma 82.8.6
  • Lemma 82.8.7
  • Lemma 82.8.8
  • Definition 82.8.9
  • Remark 82.8.10
  • Lemma 82.8.11
• Section 82.9: Smooth or unobstructed categories
  • Definition 82.9.1
  • Remark 82.9.2
  • Lemma 82.9.3
  • Lemma 82.9.4
  • Lemma 82.9.5
  • Example 82.9.6
• Section 82.10: Schlessinger's conditions
  • Definition 82.10.1
    • Equation 82.10.1.1
  • Lemma 82.10.2
  • Remark 82.10.3
  • Lemma 82.10.4
  • Lemma 82.10.5
  • Lemma 82.10.6
  • Lemma 82.10.7
  • Lemma 82.10.8
• Section 82.11: Tangent spaces of functors
  • Definition 82.11.1
  • Remark 82.11.2
  • Remark 82.11.3
  • Lemma 82.11.4
  • Lemma 82.11.5
  • Lemma 82.11.6
  • Lemma 82.11.7
  • Lemma 82.11.8
  • Definition 82.11.9
  • Example 82.11.10
  • Example 82.11.11
  • Example 82.11.12
  • Lemma 82.11.13
  • Example 82.11.14
  • Lemma 82.11.15
• Section 82.12: Tangent spaces of predeformation categories
  • Definition 82.12.1
  • Lemma 82.12.2
  • Definition 82.12.3
  • Lemma 82.12.4
  • Remark 82.12.5
  • Lemma 82.12.6
    • Equation 82.12.6.1
    • Equation 82.12.6.2
• Section 82.13: Versal formal objects
  • Lemma 82.13.1
  • Lemma 82.13.2
  • Lemma 82.13.3
  • Lemma 82.13.4
  • Remark 82.13.5
• Section 82.14: Minimal versal formal objects
  • Lemma 82.14.1
  • Lemma 82.14.2
  • Lemma 82.14.3
  • Definition 82.14.4
  • Lemma 82.14.5
• Section 82.15: Miniversal formal objects and tangent spaces
  • Equation 82.15.0.1
  • Equation 82.15.0.2
  • Lemma 82.15.1
  • Lemma 82.15.2
  • Example 82.15.3
  • Lemma 82.15.4
  • Theorem 82.15.5
  • Remark 82.15.6
  • Remark 82.15.7
  • Example 82.15.8
• Section 82.16: Rim-Schlessinger conditions and deformation categories
  • Definition 82.16.1
  • Lemma 82.16.2
  • Lemma 82.16.3
  • Lemma 82.16.4
  • Remark 82.16.5
  • Lemma 82.16.6
  • Lemma 82.16.7
  • Definition 82.16.8
  • Remark 82.16.9
  • Example 82.16.10
  • Lemma 82.16.11
  • Lemma 82.16.12
• Section 82.17: Lifts of objects
  • Definition 82.17.1
  • Remark 82.17.2
  • Remark 82.17.3
  • Remark 82.17.4
  • Lemma 82.17.5
    • Equation 82.17.5.1
    • Equation 82.17.5.2
    • Equation 82.17.5.3
  • Remark 82.17.6
• Section 82.18: Schlessinger's theorem on prorepresentable functors
  • Lemma 82.18.1
  • Theorem 82.18.2
• Section 82.19: Infinitesimal automorphisms
  • Definition 82.19.1
  • Definition 82.19.2
  • Remark 82.19.3
  • Remark 82.19.4
  • Definition 82.19.5
  • Lemma 82.19.6
  • Lemma 82.19.7
  • Remark 82.19.8
  • Lemma 82.19.9
  • Lemma 82.19.10
  • Lemma 82.19.11
  • Lemma 82.19.12
  • Lemma 82.19.13
• Section 82.20: Applications
  • Lemma 82.20.1
  • Lemma 82.20.2
  • Lemma 82.20.3
  • Lemma 82.20.4
• Section 82.21: Groupoids in functors on an arbitrary category
  • Definition 82.21.1
  • Remark 82.21.2
  • Remark 82.21.3
  • Definition 82.21.4
  • Remark 82.21.5
  • Remark 82.21.6
  • Definition 82.21.7
  • Remark 82.21.8
  • Definition 82.21.9
• Section 82.22: Groupoids in functors on the base category
  • Definition 82.22.1
  • Definition 82.22.2
  • Remark 82.22.3
  • Lemma 82.22.4
• Section 82.23: Smooth groupoids in functors on the base category
  • Definition 82.23.1
  • Remark 82.23.2
  • Remark 82.23.3
  • Lemma 82.23.4
• Section 82.24: Deformation categories as quotients of groupoids in functors
  • Lemma 82.24.1
  • Lemma 82.24.2
• Section 82.25: Presentations of categories cofibered in groupoids
  • Definition 82.25.1
  • Lemma 82.25.2
  • Lemma 82.25.3
• Section 82.26: Presentations of deformation categories
  • Lemma 82.26.1
  • Lemma 82.26.2
  • Lemma 82.26.3
  • Theorem 82.26.4
• Section 82.27: Remarks regarding minimality
  • Definition 82.27.1
  • Lemma 82.27.2
  • Lemma 82.27.3
  • Lemma 82.27.4
  • Lemma 82.27.5
  • Lemma 82.27.6
  • Lemma 82.27.7
  • Theorem 82.27.8
• Section 82.28: Uniqueness of versal rings
  • Lemma 82.28.1
  • Lemma 82.28.2
  • Lemma 82.28.3
  • Lemma 82.28.4
• Section 82.29: Change of residue field
  • Situation 82.29.1
    • Equation 82.29.1.1
  • Lemma 82.29.2
  • Lemma 82.29.3
  • Lemma 82.29.4
  • Lemma 82.29.5
  • Lemma 82.29.6