12 Homological Algebra

• Section 12.1: Introduction
• Section 12.2: Basic notions
• Section 12.3: Preadditive and additive categories
  • Definition 12.3.1
  • Lemma 12.3.2
  • Definition 12.3.3
  • Lemma 12.3.4
  • Definition 12.3.5
  • Remark 12.3.6
  • Lemma 12.3.7
  • Definition 12.3.8
  • Definition 12.3.9
  • Lemma 12.3.10
  • Lemma 12.3.11
  • Lemma 12.3.12
  • Example 12.3.13
• Section 12.4: Karoubian categories
  • Definition 12.4.1
  • Lemma 12.4.2
  • Lemma 12.4.3
• Section 12.5: Abelian categories
  • Definition 12.5.1
  • Lemma 12.5.2
  • Definition 12.5.3
  • Lemma 12.5.4
  • Lemma 12.5.5
  • Example 12.5.6
  • Definition 12.5.7
  • Lemma 12.5.8
  • Definition 12.5.9
  • Lemma 12.5.10
  • Lemma 12.5.11
  • Lemma 12.5.12
  • Lemma 12.5.13
  • Lemma 12.5.14
  • Lemma 12.5.15
  • Lemma 12.5.16
  • Lemma 12.5.17
  • Lemma 12.5.18
  • Lemma 12.5.19
  • Lemma 12.5.20 reference
• Section 12.6: Extensions
  • Definition 12.6.1
  • Definition 12.6.2
  • Lemma 12.6.3
  • Lemma 12.6.4
• Section 12.7: Additive functors
  • Lemma 12.7.1
  • Lemma 12.7.2
  • Lemma 12.7.3
  • Lemma 12.7.4
• Section 12.8: Localization
  • Lemma 12.8.1
  • Lemma 12.8.2
  • Lemma 12.8.3
  • Lemma 12.8.4
• Section 12.9: Jordan-Hölder
  • Definition 12.9.1
  • Definition 12.9.2
  • Definition 12.9.3
  • Lemma 12.9.4
  • Lemma 12.9.5
  • Lemma 12.9.6
  • Lemma 12.9.7: Jordan-Hölder
• Section 12.10: Serre subcategories
  • Definition 12.10.1 reference
  • Lemma 12.10.2
  • Lemma 12.10.3
  • Lemma 12.10.4
  • Definition 12.10.5
  • Lemma 12.10.6
  • Lemma 12.10.7
• Section 12.11: K-groups
  • Definition 12.11.1
  • Lemma 12.11.2
    • Equation 12.11.2.1
  • Lemma 12.11.3
• Section 12.12: Cohomological delta-functors
  • Definition 12.12.1
  • Definition 12.12.2
  • Definition 12.12.3
  • Lemma 12.12.4
  • Lemma 12.12.5
• Section 12.13: Complexes
  • Lemma 12.13.1 slogan
  • Definition 12.13.2
  • Lemma 12.13.3
  • Definition 12.13.4
  • Lemma 12.13.5
  • Lemma 12.13.6
  • Lemma 12.13.7
  • Definition 12.13.8
  • Lemma 12.13.9
  • Definition 12.13.10
  • Lemma 12.13.11
  • Lemma 12.13.12 slogan
• Section 12.14: Homotopy and the shift functor
  • Definition 12.14.1
  • Definition 12.14.2
  • Lemma 12.14.3
  • Lemma 12.14.4
  • Lemma 12.14.5
  • Lemma 12.14.6
  • Definition 12.14.7
  • Definition 12.14.8
  • Lemma 12.14.9
  • Lemma 12.14.10
  • Lemma 12.14.11
  • Lemma 12.14.12
• Section 12.15: Truncation of complexes
• Section 12.16: Graded objects
  • Definition 12.16.1
  • Lemma 12.16.2
  • Remark 12.16.3: Warning
  • Definition 12.16.4
    • Equation 12.16.4.1
• Section 12.17: Additive monoidal categories
  • Definition 12.17.1
  • Lemma 12.17.2
  • Lemma 12.17.3
  • Example 12.17.4
  • Lemma 12.17.5
• Section 12.18: Double complexes and associated total complexes
  • Definition 12.18.1
  • Example 12.18.2
  • Definition 12.18.3
  • Remark 12.18.4
  • Remark 12.18.5
  • Remark 12.18.6
  • Remark 12.18.7
• Section 12.19: Filtrations
  • Definition 12.19.1
  • Lemma 12.19.2
  • Definition 12.19.3
  • Lemma 12.19.4
  • Lemma 12.19.5
  • Lemma 12.19.6
  • Lemma 12.19.7
  • Lemma 12.19.8
  • Lemma 12.19.9
  • Lemma 12.19.10
  • Lemma 12.19.11
  • Lemma 12.19.12
  • Lemma 12.19.13
  • Lemma 12.19.14
  • Lemma 12.19.15
• Section 12.20: Spectral sequences
  • Definition 12.20.1
  • Definition 12.20.2
  • Remark 12.20.3: Variant
• Section 12.21: Spectral sequences: exact couples
  • Definition 12.21.1
  • Lemma 12.21.2
  • Definition 12.21.3
  • Lemma 12.21.4
  • Remark 12.21.5: Variant
• Section 12.22: Spectral sequences: differential objects
  • Definition 12.22.1
  • Lemma 12.22.2 slogan
  • Definition 12.22.3
  • Lemma 12.22.4
  • Definition 12.22.5
  • Remark 12.22.6: Variant
• Section 12.23: Spectral sequences: filtered differential objects
  • Definition 12.23.1
  • Lemma 12.23.2
  • Lemma 12.23.3
  • Definition 12.23.4
  • Lemma 12.23.5
    • Equation 12.23.5.1
    • Equation 12.23.5.2
  • Definition 12.23.6
  • Lemma 12.23.7
• Section 12.24: Spectral sequences: filtered complexes
  • Definition 12.24.1
  • Lemma 12.24.2
  • Lemma 12.24.3
  • Lemma 12.24.4
  • Definition 12.24.5
    • Equation 12.24.5.1
    • Equation 12.24.5.2
  • Lemma 12.24.6
    • Equation 12.24.6.1
    • Equation 12.24.6.2
  • Definition 12.24.7
  • Lemma 12.24.8
  • Definition 12.24.9
  • Lemma 12.24.10
  • Lemma 12.24.11
  • Lemma 12.24.12
  • Lemma 12.24.13
• Section 12.25: Spectral sequences: double complexes
  • Lemma 12.25.1
  • Definition 12.25.2
  • Lemma 12.25.3
  • Lemma 12.25.4
  • Lemma 12.25.5
• Section 12.26: Double complexes of abelian groups
  • Lemma 12.26.1
  • Lemma 12.26.2
  • Lemma 12.26.3
  • Lemma 12.26.4
• Section 12.27: Injectives
  • Definition 12.27.1
  • Lemma 12.27.2
  • Lemma 12.27.3
  • Definition 12.27.4
  • Definition 12.27.5
• Section 12.28: Projectives
  • Definition 12.28.1
  • Lemma 12.28.2
  • Lemma 12.28.3
  • Definition 12.28.4
  • Definition 12.28.5
• Section 12.29: Injectives and adjoint functors
  • Lemma 12.29.1 slogan
  • Remark 12.29.2
  • Lemma 12.29.3
  • Remark 12.29.4
  • Lemma 12.29.5
  • Lemma 12.29.6
• Section 12.30: Essentially constant systems
  • Lemma 12.30.1
  • Lemma 12.30.2
  • Lemma 12.30.3
• Section 12.31: Inverse systems
  • Lemma 12.31.1
  • Definition 12.31.2
  • Lemma 12.31.3
  • Lemma 12.31.4
  • Lemma 12.31.5
  • Lemma 12.31.6
  • Lemma 12.31.7
  • Lemma 12.31.8
• Section 12.32: Exactness of products
  • Lemma 12.32.1