13 Derived Categories

• Section 13.1: Introduction
• Section 13.2: Triangulated categories
• Section 13.3: The definition of a triangulated category
  • Definition 13.3.1
  • Definition 13.3.2
    • Equation 13.3.2.1
  • Definition 13.3.3
  • Definition 13.3.4
  • Definition 13.3.5
    • Equation 13.3.5.1
  • Definition 13.3.6
• Section 13.4: Elementary results on triangulated categories
  • Lemma 13.4.1
  • Lemma 13.4.2
  • Lemma 13.4.3
  • Remark 13.4.4
  • Lemma 13.4.5
  • Lemma 13.4.6
  • Lemma 13.4.7
  • Lemma 13.4.8
  • Lemma 13.4.9
  • Lemma 13.4.10
  • Lemma 13.4.11
  • Lemma 13.4.12
  • Lemma 13.4.13
  • Lemma 13.4.14
  • Lemma 13.4.15
  • Lemma 13.4.16
  • Lemma 13.4.17
  • Lemma 13.4.18
  • Lemma 13.4.19
  • Lemma 13.4.20
  • Lemma 13.4.21
  • Lemma 13.4.22
  • Proposition 13.4.23
• Section 13.5: Localization of triangulated categories
  • Definition 13.5.1
  • Lemma 13.5.2
  • Remark 13.5.3
  • Lemma 13.5.4
  • Lemma 13.5.5
  • Proposition 13.5.6
  • Lemma 13.5.7
  • Lemma 13.5.8
  • Lemma 13.5.9
  • Lemma 13.5.10
• Section 13.6: Quotients of triangulated categories
  • Definition 13.6.1
  • Lemma 13.6.2
  • Lemma 13.6.3
  • Lemma 13.6.4
  • Definition 13.6.5
  • Lemma 13.6.6
    • Equation 13.6.6.1
  • Definition 13.6.7
  • Lemma 13.6.8 slogan
  • Lemma 13.6.9
  • Lemma 13.6.10
  • Lemma 13.6.11
• Section 13.7: Adjoints for exact functors
  • Lemma 13.7.1
  • Lemma 13.7.2
• Section 13.8: The homotopy category
  • Definition 13.8.1
• Section 13.9: Cones and termwise split sequences
  • Definition 13.9.1
  • Lemma 13.9.2
  • Lemma 13.9.3
  • Definition 13.9.4
  • Lemma 13.9.5
  • Lemma 13.9.6
  • Remark 13.9.7
  • Lemma 13.9.8
  • Definition 13.9.9
  • Lemma 13.9.10
  • Remark 13.9.11
  • Lemma 13.9.12
  • Lemma 13.9.13
  • Lemma 13.9.14
  • Lemma 13.9.15
  • Lemma 13.9.16
  • Lemma 13.9.17
• Section 13.10: Distinguished triangles in the homotopy category
  • Definition 13.10.1
  • Lemma 13.10.2
  • Proposition 13.10.3
  • Remark 13.10.4
  • Lemma 13.10.5
  • Lemma 13.10.6
  • Lemma 13.10.7
  • Remark 13.10.8
  • Remark 13.10.9
• Section 13.11: Derived categories
  • Lemma 13.11.1
    • Equation 13.11.1.1
  • Lemma 13.11.2
  • Definition 13.11.3
  • Remark 13.11.4
  • Lemma 13.11.5
  • Lemma 13.11.6
• Section 13.12: The canonical delta-functor
  • Lemma 13.12.1
  • Lemma 13.12.2
  • Lemma 13.12.3
  • Remark 13.12.4
  • Lemma 13.12.5
• Section 13.13: Filtered derived categories
  • Definition 13.13.1
  • Definition 13.13.2
  • Lemma 13.13.3
  • Lemma 13.13.4
  • Definition 13.13.5
  • Lemma 13.13.6
  • Definition 13.13.7
  • Lemma 13.13.8
  • Lemma 13.13.9
• Section 13.14: Derived functors in general
  • Situation 13.14.1
  • Definition 13.14.2
  • Lemma 13.14.3
  • Lemma 13.14.4
  • Lemma 13.14.5 slogan
  • Lemma 13.14.6
  • Lemma 13.14.7
  • Proposition 13.14.8
  • Definition 13.14.9
    • Equation 13.14.9.1
  • Definition 13.14.10
  • Lemma 13.14.11
  • Lemma 13.14.12
  • Lemma 13.14.13
  • Lemma 13.14.14
  • Lemma 13.14.15
  • Lemma 13.14.16
• Section 13.15: Derived functors on derived categories
  • Situation 13.15.1
  • Lemma 13.15.2
  • Definition 13.15.3
  • Lemma 13.15.4
  • Lemma 13.15.5
  • Lemma 13.15.6
  • Lemma 13.15.7
• Section 13.16: Higher derived functors
  • Lemma 13.16.1
  • Definition 13.16.2
  • Lemma 13.16.3
  • Lemma 13.16.4
  • Lemma 13.16.5
  • Lemma 13.16.6
  • Lemma 13.16.7: Leray's acyclicity lemma
  • Proposition 13.16.8 slogan
  • Lemma 13.16.9
• Section 13.17: Triangulated subcategories of the derived category
  • Lemma 13.17.1
    • Equation 13.17.1.1
  • Lemma 13.17.2
  • Lemma 13.17.3
  • Lemma 13.17.4
• Section 13.18: Injective resolutions
  • Definition 13.18.1
  • Lemma 13.18.2
  • Lemma 13.18.3
  • Lemma 13.18.4
  • Remark 13.18.5
  • Lemma 13.18.6
    • Equation 13.18.6.1
  • Lemma 13.18.7
  • Lemma 13.18.8
  • Lemma 13.18.9
• Section 13.19: Projective resolutions
  • Definition 13.19.1
  • Lemma 13.19.2
  • Lemma 13.19.3
  • Lemma 13.19.4
  • Remark 13.19.5
  • Lemma 13.19.6
  • Lemma 13.19.7
  • Lemma 13.19.8
  • Lemma 13.19.9
  • Lemma 13.19.10
  • Lemma 13.19.11
• Section 13.20: Right derived functors and injective resolutions
  • Lemma 13.20.1
  • Lemma 13.20.2
  • Lemma 13.20.3
  • Lemma 13.20.4
• Section 13.21: Cartan-Eilenberg resolutions
  • Definition 13.21.1
  • Lemma 13.21.2
  • Lemma 13.21.3
  • Remark 13.21.4
• Section 13.22: Composition of right derived functors
  • Lemma 13.22.1
  • Lemma 13.22.2: Grothendieck spectral sequence
• Section 13.23: Resolution functors
  • Proposition 13.23.1
  • Definition 13.23.2
  • Lemma 13.23.3
  • Lemma 13.23.4
  • Lemma 13.23.5
  • Lemma 13.23.6
  • Remark 13.23.7
• Section 13.24: Functorial injective embeddings and resolution functors
  • Lemma 13.24.1
  • Remark 13.24.2
  • Remark 13.24.3
• Section 13.25: Right derived functors via resolution functors
  • Lemma 13.25.1
  • Remark 13.25.2
• Section 13.26: Filtered derived category and injective resolutions
  • Definition 13.26.1
  • Lemma 13.26.2
  • Lemma 13.26.3
  • Lemma 13.26.4
  • Lemma 13.26.5
  • Lemma 13.26.6
  • Lemma 13.26.7
  • Lemma 13.26.8
  • Lemma 13.26.9
  • Lemma 13.26.10
  • Lemma 13.26.11
  • Lemma 13.26.12
  • Remark 13.26.13
    • Equation 13.26.13.1
    • Equation 13.26.13.2
    • Equation 13.26.13.3
    • Equation 13.26.13.4
    • Equation 13.26.13.5
    • Equation 13.26.13.6
    • Equation 13.26.13.7
    • Equation 13.26.13.8
  • Lemma 13.26.14
  • Remark 13.26.15
• Section 13.27: Ext groups
  • Definition 13.27.1
  • Lemma 13.27.2
  • Lemma 13.27.3
  • Definition 13.27.4
  • Lemma 13.27.5
  • Lemma 13.27.6
  • Lemma 13.27.7
  • Lemma 13.27.8
  • Lemma 13.27.9
  • Lemma 13.27.10
• Section 13.28: K-groups
  • Definition 13.28.1
  • Lemma 13.28.2
  • Lemma 13.28.3
  • Lemma 13.28.4
  • Lemma 13.28.5
  • Lemma 13.28.6
• Section 13.29: Unbounded complexes
  • Lemma 13.29.1
  • Proposition 13.29.2
  • Lemma 13.29.3
• Section 13.30: Deriving adjoints
  • Lemma 13.30.1
  • Lemma 13.30.2
  • Lemma 13.30.3
• Section 13.31: K-injective complexes
  • Definition 13.31.1
  • Lemma 13.31.2
  • Lemma 13.31.3
  • Lemma 13.31.4
  • Lemma 13.31.5
  • Lemma 13.31.6
  • Lemma 13.31.7
  • Lemma 13.31.8 slogan
  • Lemma 13.31.9
• Section 13.32: Bounded cohomological dimension
  • Lemma 13.32.1
  • Lemma 13.32.2
  • Lemma 13.32.3
• Section 13.33: Derived colimits
  • Definition 13.33.1
  • Remark 13.33.2
  • Remark 13.33.3
  • Lemma 13.33.4
  • Lemma 13.33.5
  • Lemma 13.33.6
  • Lemma 13.33.7
  • Lemma 13.33.8
  • Lemma 13.33.9
• Section 13.34: Derived limits
  • Definition 13.34.1
  • Lemma 13.34.2
  • Lemma 13.34.3
  • Remark 13.34.4
  • Lemma 13.34.5
  • Lemma 13.34.6
• Section 13.35: Operations on full subcategories
  • Lemma 13.35.1
  • Lemma 13.35.2
  • Lemma 13.35.3
  • Lemma 13.35.4
  • Remark 13.35.5
  • Remark 13.35.6
  • Lemma 13.35.7
  • Lemma 13.35.8
• Section 13.36: Generators of triangulated categories
  • Lemma 13.36.1
  • Lemma 13.36.2
  • Definition 13.36.3
  • Lemma 13.36.4
  • Lemma 13.36.5
  • Lemma 13.36.6
  • Remark 13.36.7
• Section 13.37: Compact objects
  • Definition 13.37.1
  • Lemma 13.37.2
  • Lemma 13.37.3
  • Lemma 13.37.4
  • Definition 13.37.5
  • Proposition 13.37.6
• Section 13.38: Brown representability
  • Lemma 13.38.1 reference
  • Proposition 13.38.2 reference
• Section 13.39: Brown representability, bis
  • Lemma 13.39.1 reference
  • Proposition 13.39.2
• Section 13.40: Admissible subcategories
  • Definition 13.40.1
  • Lemma 13.40.2
  • Lemma 13.40.3
  • Lemma 13.40.4
  • Lemma 13.40.5
  • Lemma 13.40.6
  • Lemma 13.40.7
  • Lemma 13.40.8
  • Definition 13.40.9
  • Proposition 13.40.10
• Section 13.41: Postnikov systems
  • Definition 13.41.1
    • Equation 13.41.1.1
  • Example 13.41.2
  • Lemma 13.41.3
  • Lemma 13.41.4
    • Equation 13.41.4.1
  • Lemma 13.41.5
  • Lemma 13.41.6
• Section 13.42: Essentially constant systems
  • Lemma 13.42.1
  • Lemma 13.42.2
  • Lemma 13.42.3
  • Lemma 13.42.4
  • Lemma 13.42.5