59 Morphisms of Algebraic Spaces

• Section 59.1: Introduction
• Section 59.2: Conventions
• Section 59.3: Properties of representable morphisms
• Section 59.4: Separation axioms
  • Lemma 59.4.1
  • Definition 59.4.2
  • Lemma 59.4.3
  • Lemma 59.4.4
  • Lemma 59.4.5 slogan
  • Lemma 59.4.6 slogan
  • Lemma 59.4.7
  • Lemma 59.4.8
  • Lemma 59.4.9
  • Lemma 59.4.10
  • Lemma 59.4.11
  • Lemma 59.4.12
  • Lemma 59.4.13
• Section 59.5: Surjective morphisms
  • Lemma 59.5.1
  • Definition 59.5.2
  • Lemma 59.5.3
  • Lemma 59.5.4
  • Lemma 59.5.5
• Section 59.6: Open morphisms
  • Lemma 59.6.1
  • Definition 59.6.2
  • Lemma 59.6.3
  • Lemma 59.6.4
  • Lemma 59.6.5
  • Lemma 59.6.6
• Section 59.7: Submersive morphisms
  • Lemma 59.7.1
  • Definition 59.7.2
  • Lemma 59.7.3
  • Lemma 59.7.4
• Section 59.8: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 59.8.1
  • Definition 59.8.2
  • Lemma 59.8.3
  • Lemma 59.8.4
  • Lemma 59.8.5
  • Lemma 59.8.6 slogan
  • Lemma 59.8.7
  • Lemma 59.8.8 slogan
  • Lemma 59.8.9
  • Lemma 59.8.10
• Section 59.9: Universally closed morphisms
  • Lemma 59.9.1
  • Definition 59.9.2
  • Lemma 59.9.3
  • Lemma 59.9.4
  • Lemma 59.9.5
  • Example 59.9.6
  • Lemma 59.9.7
  • Lemma 59.9.8
• Section 59.10: Monomorphisms
  • Definition 59.10.1
  • Lemma 59.10.2
  • Lemma 59.10.3
  • Lemma 59.10.4
  • Lemma 59.10.5
  • Lemma 59.10.6
  • Lemma 59.10.7
  • Lemma 59.10.8
  • Lemma 59.10.9
• Section 59.11: Pushforward of quasi-coherent sheaves
  • Lemma 59.11.1
    • Equation 59.11.1.1
  • Lemma 59.11.2
• Section 59.12: Immersions
  • Lemma 59.12.1
  • Lemma 59.12.2
  • Lemma 59.12.3
  • Remark 59.12.4
  • Remark 59.12.5
  • Lemma 59.12.6
• Section 59.13: Closed immersions
  • Lemma 59.13.1
  • Definition 59.13.2
  • Lemma 59.13.3
  • Lemma 59.13.4
  • Lemma 59.13.5
  • Lemma 59.13.6
  • Lemma 59.13.7
• Section 59.14: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
  • Lemma 59.14.1
  • Lemma 59.14.2
  • Lemma 59.14.3
  • Definition 59.14.4
  • Lemma 59.14.5
  • Lemma 59.14.6
• Section 59.15: Supports of modules
  • Lemma 59.15.1
  • Lemma 59.15.2
  • Lemma 59.15.3
  • Definition 59.15.4
• Section 59.16: Scheme theoretic image
  • Lemma 59.16.1 slogan
  • Definition 59.16.2
  • Lemma 59.16.3
  • Lemma 59.16.4
  • Lemma 59.16.5
  • Lemma 59.16.6
  • Lemma 59.16.7
• Section 59.17: Scheme theoretic closure and density
  • Lemma 59.17.1
  • Lemma 59.17.2
  • Definition 59.17.3
  • Lemma 59.17.4
  • Lemma 59.17.5
  • Lemma 59.17.6
  • Lemma 59.17.7
  • Lemma 59.17.8
• Section 59.18: Dominant morphisms
  • Definition 59.18.1
• Section 59.19: Universally injective morphisms
  • Lemma 59.19.1
  • Lemma 59.19.2
  • Definition 59.19.3
  • Remark 59.19.4
  • Lemma 59.19.5
  • Lemma 59.19.6
  • Lemma 59.19.7
• Section 59.20: Affine morphisms
  • Lemma 59.20.1
  • Definition 59.20.2
  • Lemma 59.20.3
  • Lemma 59.20.4
  • Lemma 59.20.5
  • Lemma 59.20.6
  • Lemma 59.20.7
  • Definition 59.20.8
  • Remark 59.20.9
  • Lemma 59.20.10
  • Lemma 59.20.11
  • Lemma 59.20.12
• Section 59.21: Quasi-affine morphisms
  • Lemma 59.21.1
  • Definition 59.21.2
  • Lemma 59.21.3
  • Lemma 59.21.4
  • Lemma 59.21.5
  • Lemma 59.21.6
• Section 59.22: Types of morphisms étale local on source-and-target
  • Lemma 59.22.1
  • Definition 59.22.2
  • Remark 59.22.3
  • Remark 59.22.4
  • Lemma 59.22.5
  • Definition 59.22.6
  • Lemma 59.22.7
  • Remark 59.22.8
• Section 59.23: Morphisms of finite type
  • Definition 59.23.1
  • Lemma 59.23.2
  • Lemma 59.23.3
  • Lemma 59.23.4
  • Lemma 59.23.5
  • Lemma 59.23.6
  • Lemma 59.23.7
• Section 59.24: Points and geometric points
  • Lemma 59.24.1
  • Lemma 59.24.2
• Section 59.25: Points of finite type
  • Lemma 59.25.1
  • Definition 59.25.2
  • Lemma 59.25.3
  • Lemma 59.25.4
  • Lemma 59.25.5
  • Lemma 59.25.6
  • Lemma 59.25.7
• Section 59.26: Nagata spaces
  • Lemma 59.26.1
  • Lemma 59.26.2
• Section 59.27: Quasi-finite morphisms
  • Definition 59.27.1
  • Lemma 59.27.2
  • Lemma 59.27.3
  • Lemma 59.27.4
  • Lemma 59.27.5
  • Lemma 59.27.6
  • Lemma 59.27.7
  • Lemma 59.27.8
  • Lemma 59.27.9
  • Lemma 59.27.10
• Section 59.28: Morphisms of finite presentation
  • Definition 59.28.1
  • Lemma 59.28.2
  • Lemma 59.28.3
  • Lemma 59.28.4
  • Lemma 59.28.5
  • Lemma 59.28.6
  • Lemma 59.28.7
  • Lemma 59.28.8
  • Lemma 59.28.9
  • Lemma 59.28.10
  • Lemma 59.28.11
  • Lemma 59.28.12
• Section 59.29: Constructible sets
  • Lemma 59.29.1
  • Theorem 59.29.2: Chevalley's Theorem
• Section 59.30: Flat morphisms
  • Definition 59.30.1
  • Lemma 59.30.2
  • Lemma 59.30.3
  • Lemma 59.30.4
  • Lemma 59.30.5
  • Lemma 59.30.6
  • Lemma 59.30.7
  • Lemma 59.30.8
  • Lemma 59.30.9
  • Lemma 59.30.10
  • Lemma 59.30.11
  • Lemma 59.30.12
• Section 59.31: Flat modules
  • Lemma 59.31.1
  • Definition 59.31.2
  • Lemma 59.31.3
  • Lemma 59.31.4
  • Lemma 59.31.5
  • Lemma 59.31.6
• Section 59.32: Generic flatness
  • Proposition 59.32.1
  • Proposition 59.32.2
• Section 59.33: Relative dimension
  • Definition 59.33.1
  • Definition 59.33.2
  • Lemma 59.33.3
  • Lemma 59.33.4
  • Lemma 59.33.5
• Section 59.34: Morphisms and dimensions of fibres
  • Lemma 59.34.1
  • Lemma 59.34.2
  • Lemma 59.34.3
  • Lemma 59.34.4
  • Lemma 59.34.5
  • Lemma 59.34.6
  • Lemma 59.34.7
  • Lemma 59.34.8
• Section 59.35: The dimension formula
  • Lemma 59.35.1
  • Lemma 59.35.2
• Section 59.36: Syntomic morphisms
  • Definition 59.36.1
  • Lemma 59.36.2
  • Lemma 59.36.3
  • Lemma 59.36.4
  • Lemma 59.36.5
  • Lemma 59.36.6
  • Lemma 59.36.7
• Section 59.37: Smooth morphisms
  • Definition 59.37.1
  • Lemma 59.37.2
  • Lemma 59.37.3
  • Lemma 59.37.4
  • Lemma 59.37.5
  • Lemma 59.37.6
  • Lemma 59.37.7
  • Lemma 59.37.8
  • Lemma 59.37.9
  • Lemma 59.37.10
• Section 59.38: Unramified morphisms
  • Definition 59.38.1
  • Lemma 59.38.2
  • Lemma 59.38.3
  • Lemma 59.38.4
  • Lemma 59.38.5
  • Lemma 59.38.6
  • Lemma 59.38.7
  • Lemma 59.38.8
  • Lemma 59.38.9
  • Lemma 59.38.10
  • Lemma 59.38.11
• Section 59.39: Étale morphisms
  • Definition 59.39.1
  • Lemma 59.39.2
  • Lemma 59.39.3
  • Lemma 59.39.4
  • Lemma 59.39.5
  • Lemma 59.39.6
  • Lemma 59.39.7
  • Lemma 59.39.8 slogan
  • Lemma 59.39.9
  • Lemma 59.39.10
  • Lemma 59.39.11
  • Lemma 59.39.12
• Section 59.40: Proper morphisms
  • Definition 59.40.1
  • Lemma 59.40.2
  • Lemma 59.40.3
  • Lemma 59.40.4
  • Lemma 59.40.5
  • Lemma 59.40.6
  • Lemma 59.40.7
  • Lemma 59.40.8
  • Lemma 59.40.9
• Section 59.41: Valuative criteria
  • Definition 59.41.1
  • Lemma 59.41.2
  • Lemma 59.41.3
  • Lemma 59.41.4
  • Lemma 59.41.5
  • Example 59.41.6
  • Lemma 59.41.7
  • Lemma 59.41.8
• Section 59.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 59.42.1
  • Lemma 59.42.2
  • Lemma 59.42.3
  • Lemma 59.42.4
  • Lemma 59.42.5
    • Equation 59.42.5.1
• Section 59.43: Valuative criterion of separatedness
  • Lemma 59.43.1
  • Lemma 59.43.2: Valuative criterion separatedness
  • Lemma 59.43.3
• Section 59.44: Valuative criterion of properness
  • Lemma 59.44.1: Valuative criterion for properness
• Section 59.45: Integral and finite morphisms
  • Lemma 59.45.1
  • Definition 59.45.2
  • Lemma 59.45.3
  • Lemma 59.45.4
  • Lemma 59.45.5
  • Lemma 59.45.6
  • Lemma 59.45.7
  • Lemma 59.45.8
  • Lemma 59.45.9
  • Lemma 59.45.10
  • Lemma 59.45.11
  • Lemma 59.45.12
• Section 59.46: Finite locally free morphisms
  • Lemma 59.46.1
  • Definition 59.46.2
  • Lemma 59.46.3
  • Lemma 59.46.4
  • Lemma 59.46.5
  • Lemma 59.46.6
• Section 59.47: Rational maps
  • Definition 59.47.1
  • Definition 59.47.2
  • Definition 59.47.3
  • Definition 59.47.4
  • Lemma 59.47.5
  • Definition 59.47.6
  • Definition 59.47.7
  • Lemma 59.47.8
• Section 59.48: Relative normalization of algebraic spaces
  • Lemma 59.48.1
  • Definition 59.48.2
  • Definition 59.48.3
  • Lemma 59.48.4
  • Lemma 59.48.5
  • Lemma 59.48.6
  • Lemma 59.48.7
  • Lemma 59.48.8
  • Lemma 59.48.9
  • Lemma 59.48.10
  • Lemma 59.48.11
• Section 59.49: Normalization
  • Lemma 59.49.1
  • Lemma 59.49.2
  • Definition 59.49.3
  • Lemma 59.49.4
  • Lemma 59.49.5
  • Lemma 59.49.6
• Section 59.50: Separated, locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 59.50.1
  • Proposition 59.50.2
• Section 59.51: Applications
  • Lemma 59.51.1
  • Lemma 59.51.2 slogan
• Section 59.52: Zariski's Main Theorem (representable case)
  • Lemma 59.52.1
  • Lemma 59.52.2
• Section 59.53: Universal homeomorphisms
  • Lemma 59.53.1
  • Definition 59.53.2
  • Example 59.53.3
  • Lemma 59.53.4
  • Lemma 59.53.5
  • Lemma 59.53.6
  • Lemma 59.53.7