66 Morphisms of Algebraic Spaces

• Section 66.1: Introduction
• Section 66.2: Conventions
• Section 66.3: Properties of representable morphisms
• Section 66.4: Separation axioms
  • Lemma 66.4.1
  • Definition 66.4.2
  • Lemma 66.4.3
  • Lemma 66.4.4
  • Lemma 66.4.5 slogan
  • Lemma 66.4.6 slogan
  • Lemma 66.4.7
  • Lemma 66.4.8
  • Lemma 66.4.9
  • Lemma 66.4.10
  • Lemma 66.4.11
  • Lemma 66.4.12
  • Lemma 66.4.13
• Section 66.5: Surjective morphisms
  • Lemma 66.5.1
  • Definition 66.5.2
  • Lemma 66.5.3
  • Lemma 66.5.4
  • Lemma 66.5.5
• Section 66.6: Open morphisms
  • Lemma 66.6.1
  • Definition 66.6.2
  • Lemma 66.6.3
  • Lemma 66.6.4
  • Lemma 66.6.5
  • Lemma 66.6.6
• Section 66.7: Submersive morphisms
  • Lemma 66.7.1
  • Definition 66.7.2
  • Lemma 66.7.3
  • Lemma 66.7.4
• Section 66.8: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 66.8.1
  • Definition 66.8.2
  • Lemma 66.8.3
  • Lemma 66.8.4
  • Lemma 66.8.5
  • Lemma 66.8.6 slogan
  • Lemma 66.8.7
  • Lemma 66.8.8 slogan
  • Lemma 66.8.9
  • Lemma 66.8.10
• Section 66.9: Universally closed morphisms
  • Lemma 66.9.1
  • Definition 66.9.2
  • Lemma 66.9.3
  • Lemma 66.9.4
  • Lemma 66.9.5
  • Example 66.9.6
  • Lemma 66.9.7
  • Lemma 66.9.8
• Section 66.10: Monomorphisms
  • Definition 66.10.1
  • Lemma 66.10.2
  • Lemma 66.10.3
  • Lemma 66.10.4
  • Lemma 66.10.5
  • Lemma 66.10.6
  • Lemma 66.10.7
  • Lemma 66.10.8
  • Lemma 66.10.9
• Section 66.11: Pushforward of quasi-coherent sheaves
  • Lemma 66.11.1
    • Equation 66.11.1.1
  • Lemma 66.11.2
• Section 66.12: Immersions
  • Lemma 66.12.1
  • Lemma 66.12.2
  • Lemma 66.12.3
  • Remark 66.12.4
  • Remark 66.12.5
  • Lemma 66.12.6
• Section 66.13: Closed immersions
  • Lemma 66.13.1
  • Definition 66.13.2
  • Lemma 66.13.3
  • Lemma 66.13.4
  • Lemma 66.13.5
  • Lemma 66.13.6
  • Lemma 66.13.7
• Section 66.14: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
  • Lemma 66.14.1
  • Lemma 66.14.2
  • Lemma 66.14.3
  • Definition 66.14.4
  • Lemma 66.14.5
  • Lemma 66.14.6
• Section 66.15: Supports of modules
  • Lemma 66.15.1
  • Lemma 66.15.2
  • Lemma 66.15.3
  • Definition 66.15.4
• Section 66.16: Scheme theoretic image
  • Lemma 66.16.1 slogan
  • Definition 66.16.2
  • Lemma 66.16.3
  • Lemma 66.16.4
  • Lemma 66.16.5
  • Lemma 66.16.6
  • Lemma 66.16.7
• Section 66.17: Scheme theoretic closure and density
  • Lemma 66.17.1
  • Lemma 66.17.2
  • Definition 66.17.3
  • Lemma 66.17.4
  • Lemma 66.17.5
  • Lemma 66.17.6
  • Lemma 66.17.7
  • Lemma 66.17.8
• Section 66.18: Dominant morphisms
  • Definition 66.18.1
• Section 66.19: Universally injective morphisms
  • Lemma 66.19.1
  • Lemma 66.19.2
  • Definition 66.19.3
  • Remark 66.19.4
  • Lemma 66.19.5
  • Lemma 66.19.6
  • Lemma 66.19.7
• Section 66.20: Affine morphisms
  • Lemma 66.20.1
  • Definition 66.20.2
  • Lemma 66.20.3
  • Lemma 66.20.4
  • Lemma 66.20.5
  • Lemma 66.20.6
  • Lemma 66.20.7
  • Definition 66.20.8
  • Remark 66.20.9
  • Lemma 66.20.10
  • Lemma 66.20.11
  • Lemma 66.20.12
• Section 66.21: Quasi-affine morphisms
  • Lemma 66.21.1
  • Definition 66.21.2
  • Lemma 66.21.3
  • Lemma 66.21.4
  • Lemma 66.21.5
  • Lemma 66.21.6
• Section 66.22: Types of morphisms étale local on source-and-target
  • Lemma 66.22.1
  • Definition 66.22.2
  • Remark 66.22.3
  • Remark 66.22.4
  • Lemma 66.22.5
  • Definition 66.22.6
  • Lemma 66.22.7
  • Remark 66.22.8
• Section 66.23: Morphisms of finite type
  • Definition 66.23.1
  • Lemma 66.23.2
  • Lemma 66.23.3
  • Lemma 66.23.4
  • Lemma 66.23.5
  • Lemma 66.23.6
  • Lemma 66.23.7
• Section 66.24: Points and geometric points
  • Lemma 66.24.1
  • Lemma 66.24.2
• Section 66.25: Points of finite type
  • Lemma 66.25.1
  • Definition 66.25.2
  • Lemma 66.25.3
  • Lemma 66.25.4
  • Lemma 66.25.5
  • Lemma 66.25.6
  • Lemma 66.25.7
• Section 66.26: Nagata spaces
  • Lemma 66.26.1
  • Lemma 66.26.2
• Section 66.27: Quasi-finite morphisms
  • Definition 66.27.1
  • Lemma 66.27.2
  • Lemma 66.27.3
  • Lemma 66.27.4
  • Lemma 66.27.5
  • Lemma 66.27.6
  • Lemma 66.27.7
  • Lemma 66.27.8
  • Lemma 66.27.9
  • Lemma 66.27.10
• Section 66.28: Morphisms of finite presentation
  • Definition 66.28.1
  • Lemma 66.28.2
  • Lemma 66.28.3
  • Lemma 66.28.4
  • Lemma 66.28.5
  • Lemma 66.28.6
  • Lemma 66.28.7
  • Lemma 66.28.8
  • Lemma 66.28.9
  • Lemma 66.28.10
  • Lemma 66.28.11
  • Lemma 66.28.12
• Section 66.29: Constructible sets
  • Lemma 66.29.1
  • Theorem 66.29.2: Chevalley's Theorem
• Section 66.30: Flat morphisms
  • Definition 66.30.1
  • Lemma 66.30.2
  • Lemma 66.30.3
  • Lemma 66.30.4
  • Lemma 66.30.5
  • Lemma 66.30.6
  • Lemma 66.30.7
  • Lemma 66.30.8
  • Lemma 66.30.9
  • Lemma 66.30.10
  • Lemma 66.30.11
  • Lemma 66.30.12
• Section 66.31: Flat modules
  • Lemma 66.31.1
  • Definition 66.31.2
  • Lemma 66.31.3
  • Lemma 66.31.4
  • Lemma 66.31.5
  • Lemma 66.31.6
• Section 66.32: Generic flatness
  • Proposition 66.32.1
  • Proposition 66.32.2
• Section 66.33: Relative dimension
  • Definition 66.33.1
  • Definition 66.33.2
  • Lemma 66.33.3
  • Lemma 66.33.4
  • Lemma 66.33.5
• Section 66.34: Morphisms and dimensions of fibres
  • Lemma 66.34.1
  • Lemma 66.34.2
  • Lemma 66.34.3
  • Lemma 66.34.4
  • Lemma 66.34.5
  • Lemma 66.34.6
  • Lemma 66.34.7
  • Lemma 66.34.8
• Section 66.35: The dimension formula
  • Lemma 66.35.1
  • Lemma 66.35.2
• Section 66.36: Syntomic morphisms
  • Definition 66.36.1
  • Lemma 66.36.2
  • Lemma 66.36.3
  • Lemma 66.36.4
  • Lemma 66.36.5
  • Lemma 66.36.6
  • Lemma 66.36.7
• Section 66.37: Smooth morphisms
  • Definition 66.37.1
  • Lemma 66.37.2
  • Lemma 66.37.3
  • Lemma 66.37.4
  • Lemma 66.37.5
  • Lemma 66.37.6
  • Lemma 66.37.7
  • Lemma 66.37.8
  • Lemma 66.37.9
  • Lemma 66.37.10
• Section 66.38: Unramified morphisms
  • Definition 66.38.1
  • Lemma 66.38.2
  • Lemma 66.38.3
  • Lemma 66.38.4
  • Lemma 66.38.5
  • Lemma 66.38.6
  • Lemma 66.38.7
  • Lemma 66.38.8
  • Lemma 66.38.9
  • Lemma 66.38.10
  • Lemma 66.38.11
• Section 66.39: Étale morphisms
  • Definition 66.39.1
  • Lemma 66.39.2
  • Lemma 66.39.3
  • Lemma 66.39.4
  • Lemma 66.39.5
  • Lemma 66.39.6
  • Lemma 66.39.7
  • Lemma 66.39.8 slogan
  • Lemma 66.39.9
  • Lemma 66.39.10
  • Lemma 66.39.11
  • Lemma 66.39.12
• Section 66.40: Proper morphisms
  • Definition 66.40.1
  • Lemma 66.40.2
  • Lemma 66.40.3
  • Lemma 66.40.4
  • Lemma 66.40.5
  • Lemma 66.40.6
  • Lemma 66.40.7
  • Lemma 66.40.8
  • Lemma 66.40.9
• Section 66.41: Valuative criteria
  • Definition 66.41.1
  • Lemma 66.41.2
  • Lemma 66.41.3
  • Lemma 66.41.4
  • Lemma 66.41.5
  • Example 66.41.6
  • Lemma 66.41.7
  • Lemma 66.41.8
• Section 66.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 66.42.1
  • Lemma 66.42.2
  • Lemma 66.42.3
  • Lemma 66.42.4
  • Lemma 66.42.5
    • Equation 66.42.5.1
• Section 66.43: Valuative criterion of separatedness
  • Lemma 66.43.1
  • Lemma 66.43.2: Valuative criterion separatedness
  • Lemma 66.43.3
• Section 66.44: Valuative criterion of properness
  • Lemma 66.44.1: Valuative criterion for properness
• Section 66.45: Integral and finite morphisms
  • Lemma 66.45.1
  • Definition 66.45.2
  • Lemma 66.45.3
  • Lemma 66.45.4
  • Lemma 66.45.5
  • Lemma 66.45.6
  • Lemma 66.45.7
  • Lemma 66.45.8
  • Lemma 66.45.9
  • Lemma 66.45.10
  • Lemma 66.45.11
  • Lemma 66.45.12
• Section 66.46: Finite locally free morphisms
  • Lemma 66.46.1
  • Definition 66.46.2
  • Lemma 66.46.3
  • Lemma 66.46.4
  • Lemma 66.46.5
  • Lemma 66.46.6
• Section 66.47: Rational maps
  • Definition 66.47.1
  • Definition 66.47.2
  • Definition 66.47.3
  • Definition 66.47.4
  • Lemma 66.47.5
  • Definition 66.47.6
  • Definition 66.47.7
  • Lemma 66.47.8
• Section 66.48: Relative normalization of algebraic spaces
  • Lemma 66.48.1
  • Definition 66.48.2
  • Definition 66.48.3
  • Lemma 66.48.4
  • Lemma 66.48.5
  • Lemma 66.48.6
  • Lemma 66.48.7
  • Lemma 66.48.8
  • Lemma 66.48.9
  • Lemma 66.48.10
  • Lemma 66.48.11
• Section 66.49: Normalization
  • Lemma 66.49.1
  • Lemma 66.49.2
  • Lemma 66.49.3
  • Lemma 66.49.4
  • Lemma 66.49.5
  • Definition 66.49.6
  • Lemma 66.49.7
  • Lemma 66.49.8
  • Lemma 66.49.9
• Section 66.50: Separated, locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 66.50.1
  • Proposition 66.50.2
• Section 66.51: Applications
  • Lemma 66.51.1
  • Lemma 66.51.2 slogan
• Section 66.52: Zariski's Main Theorem (representable case)
  • Lemma 66.52.1
  • Lemma 66.52.2
• Section 66.53: Universal homeomorphisms
  • Lemma 66.53.1
  • Definition 66.53.2
  • Example 66.53.3
  • Lemma 66.53.4
  • Lemma 66.53.5
  • Lemma 66.53.6
  • Lemma 66.53.7