65 Morphisms of Algebraic Spaces

Section 65.1: Introduction
Section 65.2: Conventions
Section 65.3: Properties of representable morphisms
Section 65.4: Separation axioms
- Lemma 65.4.1
- Definition 65.4.2
- Lemma 65.4.3
- Lemma 65.4.4
- Lemma 65.4.5 slogan
- Lemma 65.4.6 slogan
- Lemma 65.4.7
- Lemma 65.4.8
- Lemma 65.4.9
- Lemma 65.4.10
- Lemma 65.4.11
- Lemma 65.4.12
- Lemma 65.4.13
Section 65.5: Surjective morphisms
- Lemma 65.5.1
- Definition 65.5.2
- Lemma 65.5.3
- Lemma 65.5.4
- Lemma 65.5.5
Section 65.6: Open morphisms
- Lemma 65.6.1
- Definition 65.6.2
- Lemma 65.6.3
- Lemma 65.6.4
- Lemma 65.6.5
- Lemma 65.6.6
Section 65.7: Submersive morphisms
- Lemma 65.7.1
- Definition 65.7.2
- Lemma 65.7.3
- Lemma 65.7.4
Section 65.8: Quasi-compact morphisms
- Lemma 65.8.1
- Definition 65.8.2
- Lemma 65.8.3
- Lemma 65.8.4
- Lemma 65.8.5
- Lemma 65.8.6 slogan
- Lemma 65.8.7
- Lemma 65.8.8 slogan
- Lemma 65.8.9
- Lemma 65.8.10
Section 65.9: Universally closed morphisms
- Lemma 65.9.1
- Definition 65.9.2
- Lemma 65.9.3
- Lemma 65.9.4
- Lemma 65.9.5
- Example 65.9.6
- Lemma 65.9.7
- Lemma 65.9.8
Section 65.10: Monomorphisms
- Definition 65.10.1
- Lemma 65.10.2
- Lemma 65.10.3
- Lemma 65.10.4
- Lemma 65.10.5
- Lemma 65.10.6
- Lemma 65.10.7
- Lemma 65.10.8
- Lemma 65.10.9
Section 65.11: Pushforward of quasi-coherent sheaves
- Lemma 65.11.1
  - Equation 65.11.1.1
- Lemma 65.11.2
Section 65.12: Immersions
- Lemma 65.12.1
- Lemma 65.12.2
- Lemma 65.12.3
- Remark 65.12.4
- Remark 65.12.5
- Lemma 65.12.6
Section 65.13: Closed immersions
- Lemma 65.13.1
- Definition 65.13.2
- Lemma 65.13.3
- Lemma 65.13.4
- Lemma 65.13.5
- Lemma 65.13.6
- Lemma 65.13.7
Section 65.14: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
- Lemma 65.14.1
- Lemma 65.14.2
- Lemma 65.14.3
- Definition 65.14.4
- Lemma 65.14.5
- Lemma 65.14.6
Section 65.15: Supports of modules
- Lemma 65.15.1
- Lemma 65.15.2
- Lemma 65.15.3
- Definition 65.15.4
Section 65.16: Scheme theoretic image
- Lemma 65.16.1 slogan
- Definition 65.16.2
- Lemma 65.16.3
- Lemma 65.16.4
- Lemma 65.16.5
- Lemma 65.16.6
- Lemma 65.16.7
Section 65.17: Scheme theoretic closure and density
- Lemma 65.17.1
- Lemma 65.17.2
- Definition 65.17.3
- Lemma 65.17.4
- Lemma 65.17.5
- Lemma 65.17.6
- Lemma 65.17.7
- Lemma 65.17.8
Section 65.18: Dominant morphisms
- Definition 65.18.1
Section 65.19: Universally injective morphisms
- Lemma 65.19.1
- Lemma 65.19.2
- Definition 65.19.3
- Remark 65.19.4
- Lemma 65.19.5
- Lemma 65.19.6
- Lemma 65.19.7
Section 65.20: Affine morphisms
- Lemma 65.20.1
- Definition 65.20.2
- Lemma 65.20.3
- Lemma 65.20.4
- Lemma 65.20.5
- Lemma 65.20.6
- Lemma 65.20.7
- Definition 65.20.8
- Remark 65.20.9
- Lemma 65.20.10
- Lemma 65.20.11
- Lemma 65.20.12
Section 65.21: Quasi-affine morphisms
- Lemma 65.21.1
- Definition 65.21.2
- Lemma 65.21.3
- Lemma 65.21.4
- Lemma 65.21.5
- Lemma 65.21.6
Section 65.22: Types of morphisms étale local on source-and-target
- Lemma 65.22.1
- Definition 65.22.2
- Remark 65.22.3
- Remark 65.22.4
- Lemma 65.22.5
- Definition 65.22.6
- Lemma 65.22.7
- Remark 65.22.8
Section 65.23: Morphisms of finite type
- Definition 65.23.1
- Lemma 65.23.2
- Lemma 65.23.3
- Lemma 65.23.4
- Lemma 65.23.5
- Lemma 65.23.6
- Lemma 65.23.7
Section 65.24: Points and geometric points
- Lemma 65.24.1
- Lemma 65.24.2
Section 65.25: Points of finite type
- Lemma 65.25.1
- Definition 65.25.2
- Lemma 65.25.3
- Lemma 65.25.4
- Lemma 65.25.5
- Lemma 65.25.6
- Lemma 65.25.7
Section 65.26: Nagata spaces
- Lemma 65.26.1
- Lemma 65.26.2
Section 65.27: Quasi-finite morphisms
- Definition 65.27.1
- Lemma 65.27.2
- Lemma 65.27.3
- Lemma 65.27.4
- Lemma 65.27.5
- Lemma 65.27.6
- Lemma 65.27.7
- Lemma 65.27.8
- Lemma 65.27.9
- Lemma 65.27.10
Section 65.28: Morphisms of finite presentation
- Definition 65.28.1
- Lemma 65.28.2
- Lemma 65.28.3
- Lemma 65.28.4
- Lemma 65.28.5
- Lemma 65.28.6
- Lemma 65.28.7
- Lemma 65.28.8
- Lemma 65.28.9
- Lemma 65.28.10
- Lemma 65.28.11
- Lemma 65.28.12
Section 65.29: Constructible sets
- Lemma 65.29.1
- Theorem 65.29.2: Chevalley's Theorem
Section 65.30: Flat morphisms
- Definition 65.30.1
- Lemma 65.30.2
- Lemma 65.30.3
- Lemma 65.30.4
- Lemma 65.30.5
- Lemma 65.30.6
- Lemma 65.30.7
- Lemma 65.30.8
- Lemma 65.30.9
- Lemma 65.30.10
- Lemma 65.30.11
- Lemma 65.30.12
Section 65.31: Flat modules
- Lemma 65.31.1
- Definition 65.31.2
- Lemma 65.31.3
- Lemma 65.31.4
- Lemma 65.31.5
- Lemma 65.31.6
Section 65.32: Generic flatness
- Proposition 65.32.1
- Proposition 65.32.2
Section 65.33: Relative dimension
- Definition 65.33.1
- Definition 65.33.2
- Lemma 65.33.3
- Lemma 65.33.4
- Lemma 65.33.5
Section 65.34: Morphisms and dimensions of fibres
- Lemma 65.34.1
- Lemma 65.34.2
- Lemma 65.34.3
- Lemma 65.34.4
- Lemma 65.34.5
- Lemma 65.34.6
- Lemma 65.34.7
- Lemma 65.34.8
Section 65.35: The dimension formula
- Lemma 65.35.1
- Lemma 65.35.2
Section 65.36: Syntomic morphisms
- Definition 65.36.1
- Lemma 65.36.2
- Lemma 65.36.3
- Lemma 65.36.4
- Lemma 65.36.5
- Lemma 65.36.6
- Lemma 65.36.7
Section 65.37: Smooth morphisms
- Definition 65.37.1
- Lemma 65.37.2
- Lemma 65.37.3
- Lemma 65.37.4
- Lemma 65.37.5
- Lemma 65.37.6
- Lemma 65.37.7
- Lemma 65.37.8
- Lemma 65.37.9
- Lemma 65.37.10
Section 65.38: Unramified morphisms
- Definition 65.38.1
- Lemma 65.38.2
- Lemma 65.38.3
- Lemma 65.38.4
- Lemma 65.38.5
- Lemma 65.38.6
- Lemma 65.38.7
- Lemma 65.38.8
- Lemma 65.38.9
- Lemma 65.38.10
- Lemma 65.38.11
Section 65.39: Étale morphisms
- Definition 65.39.1
- Lemma 65.39.2
- Lemma 65.39.3
- Lemma 65.39.4
- Lemma 65.39.5
- Lemma 65.39.6
- Lemma 65.39.7
- Lemma 65.39.8 slogan
- Lemma 65.39.9
- Lemma 65.39.10
- Lemma 65.39.11
- Lemma 65.39.12
Section 65.40: Proper morphisms
- Definition 65.40.1
- Lemma 65.40.2
- Lemma 65.40.3
- Lemma 65.40.4
- Lemma 65.40.5
- Lemma 65.40.6
- Lemma 65.40.7
- Lemma 65.40.8
- Lemma 65.40.9
Section 65.41: Valuative criteria
- Definition 65.41.1
- Lemma 65.41.2
- Lemma 65.41.3
- Lemma 65.41.4
- Lemma 65.41.5
- Example 65.41.6
- Lemma 65.41.7
- Lemma 65.41.8
Section 65.42: Valuative criterion for universal closedness
- Lemma 65.42.1
- Lemma 65.42.2
- Lemma 65.42.3
- Lemma 65.42.4
- Lemma 65.42.5
  - Equation 65.42.5.1
Section 65.43: Valuative criterion of separatedness
- Lemma 65.43.1
- Lemma 65.43.2: Valuative criterion separatedness
- Lemma 65.43.3
Section 65.44: Valuative criterion of properness
- Lemma 65.44.1: Valuative criterion for properness
Section 65.45: Integral and finite morphisms
- Lemma 65.45.1
- Definition 65.45.2
- Lemma 65.45.3
- Lemma 65.45.4
- Lemma 65.45.5
- Lemma 65.45.6
- Lemma 65.45.7
- Lemma 65.45.8
- Lemma 65.45.9
- Lemma 65.45.10
- Lemma 65.45.11
- Lemma 65.45.12
Section 65.46: Finite locally free morphisms
- Lemma 65.46.1
- Definition 65.46.2
- Lemma 65.46.3
- Lemma 65.46.4
- Lemma 65.46.5
- Lemma 65.46.6
Section 65.47: Rational maps
- Definition 65.47.1
- Definition 65.47.2
- Definition 65.47.3
- Definition 65.47.4
- Lemma 65.47.5
- Definition 65.47.6
- Definition 65.47.7
- Lemma 65.47.8
Section 65.48: Relative normalization of algebraic spaces
- Lemma 65.48.1
- Definition 65.48.2
- Definition 65.48.3
- Lemma 65.48.4
- Lemma 65.48.5
- Lemma 65.48.6
- Lemma 65.48.7
- Lemma 65.48.8
- Lemma 65.48.9
- Lemma 65.48.10
- Lemma 65.48.11
Section 65.49: Normalization
- Lemma 65.49.1
- Lemma 65.49.2
- Lemma 65.49.3
- Lemma 65.49.4
- Lemma 65.49.5
- Definition 65.49.6
- Lemma 65.49.7
- Lemma 65.49.8
- Lemma 65.49.9
Section 65.50: Separated, locally quasi-finite morphisms
- Lemma 65.50.1
- Proposition 65.50.2
Section 65.51: Applications
- Lemma 65.51.1
- Lemma 65.51.2 slogan
Section 65.52: Zariski's Main Theorem (representable case)
- Lemma 65.52.1
- Lemma 65.52.2
Section 65.53: Universal homeomorphisms
- Lemma 65.53.1
- Definition 65.53.2
- Example 65.53.3
- Lemma 65.53.4
- Lemma 65.53.5
- Lemma 65.53.6
- Lemma 65.53.7