64 Morphisms of Algebraic Spaces

Section 64.1: Introduction
Section 64.2: Conventions
Section 64.3: Properties of representable morphisms
Section 64.4: Separation axioms
- Lemma 64.4.1
- Definition 64.4.2
- Lemma 64.4.3
- Lemma 64.4.4
- Lemma 64.4.5 slogan
- Lemma 64.4.6 slogan
- Lemma 64.4.7
- Lemma 64.4.8
- Lemma 64.4.9
- Lemma 64.4.10
- Lemma 64.4.11
- Lemma 64.4.12
- Lemma 64.4.13
Section 64.5: Surjective morphisms
- Lemma 64.5.1
- Definition 64.5.2
- Lemma 64.5.3
- Lemma 64.5.4
- Lemma 64.5.5
Section 64.6: Open morphisms
- Lemma 64.6.1
- Definition 64.6.2
- Lemma 64.6.3
- Lemma 64.6.4
- Lemma 64.6.5
- Lemma 64.6.6
Section 64.7: Submersive morphisms
- Lemma 64.7.1
- Definition 64.7.2
- Lemma 64.7.3
- Lemma 64.7.4
Section 64.8: Quasi-compact morphisms
- Lemma 64.8.1
- Definition 64.8.2
- Lemma 64.8.3
- Lemma 64.8.4
- Lemma 64.8.5
- Lemma 64.8.6 slogan
- Lemma 64.8.7
- Lemma 64.8.8 slogan
- Lemma 64.8.9
- Lemma 64.8.10
Section 64.9: Universally closed morphisms
- Lemma 64.9.1
- Definition 64.9.2
- Lemma 64.9.3
- Lemma 64.9.4
- Lemma 64.9.5
- Example 64.9.6
- Lemma 64.9.7
- Lemma 64.9.8
Section 64.10: Monomorphisms
- Definition 64.10.1
- Lemma 64.10.2
- Lemma 64.10.3
- Lemma 64.10.4
- Lemma 64.10.5
- Lemma 64.10.6
- Lemma 64.10.7
- Lemma 64.10.8
- Lemma 64.10.9
Section 64.11: Pushforward of quasi-coherent sheaves
- Lemma 64.11.1
  - Equation 64.11.1.1
- Lemma 64.11.2
Section 64.12: Immersions
- Lemma 64.12.1
- Lemma 64.12.2
- Lemma 64.12.3
- Remark 64.12.4
- Remark 64.12.5
- Lemma 64.12.6
Section 64.13: Closed immersions
- Lemma 64.13.1
- Definition 64.13.2
- Lemma 64.13.3
- Lemma 64.13.4
- Lemma 64.13.5
- Lemma 64.13.6
- Lemma 64.13.7
Section 64.14: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
- Lemma 64.14.1
- Lemma 64.14.2
- Lemma 64.14.3
- Definition 64.14.4
- Lemma 64.14.5
- Lemma 64.14.6
Section 64.15: Supports of modules
- Lemma 64.15.1
- Lemma 64.15.2
- Lemma 64.15.3
- Definition 64.15.4
Section 64.16: Scheme theoretic image
- Lemma 64.16.1 slogan
- Definition 64.16.2
- Lemma 64.16.3
- Lemma 64.16.4
- Lemma 64.16.5
- Lemma 64.16.6
- Lemma 64.16.7
Section 64.17: Scheme theoretic closure and density
- Lemma 64.17.1
- Lemma 64.17.2
- Definition 64.17.3
- Lemma 64.17.4
- Lemma 64.17.5
- Lemma 64.17.6
- Lemma 64.17.7
- Lemma 64.17.8
Section 64.18: Dominant morphisms
- Definition 64.18.1
Section 64.19: Universally injective morphisms
- Lemma 64.19.1
- Lemma 64.19.2
- Definition 64.19.3
- Remark 64.19.4
- Lemma 64.19.5
- Lemma 64.19.6
- Lemma 64.19.7
Section 64.20: Affine morphisms
- Lemma 64.20.1
- Definition 64.20.2
- Lemma 64.20.3
- Lemma 64.20.4
- Lemma 64.20.5
- Lemma 64.20.6
- Lemma 64.20.7
- Definition 64.20.8
- Remark 64.20.9
- Lemma 64.20.10
- Lemma 64.20.11
- Lemma 64.20.12
Section 64.21: Quasi-affine morphisms
- Lemma 64.21.1
- Definition 64.21.2
- Lemma 64.21.3
- Lemma 64.21.4
- Lemma 64.21.5
- Lemma 64.21.6
Section 64.22: Types of morphisms étale local on source-and-target
- Lemma 64.22.1
- Definition 64.22.2
- Remark 64.22.3
- Remark 64.22.4
- Lemma 64.22.5
- Definition 64.22.6
- Lemma 64.22.7
- Remark 64.22.8
Section 64.23: Morphisms of finite type
- Definition 64.23.1
- Lemma 64.23.2
- Lemma 64.23.3
- Lemma 64.23.4
- Lemma 64.23.5
- Lemma 64.23.6
- Lemma 64.23.7
Section 64.24: Points and geometric points
- Lemma 64.24.1
- Lemma 64.24.2
Section 64.25: Points of finite type
- Lemma 64.25.1
- Definition 64.25.2
- Lemma 64.25.3
- Lemma 64.25.4
- Lemma 64.25.5
- Lemma 64.25.6
- Lemma 64.25.7
Section 64.26: Nagata spaces
- Lemma 64.26.1
- Lemma 64.26.2
Section 64.27: Quasi-finite morphisms
- Definition 64.27.1
- Lemma 64.27.2
- Lemma 64.27.3
- Lemma 64.27.4
- Lemma 64.27.5
- Lemma 64.27.6
- Lemma 64.27.7
- Lemma 64.27.8
- Lemma 64.27.9
- Lemma 64.27.10
Section 64.28: Morphisms of finite presentation
- Definition 64.28.1
- Lemma 64.28.2
- Lemma 64.28.3
- Lemma 64.28.4
- Lemma 64.28.5
- Lemma 64.28.6
- Lemma 64.28.7
- Lemma 64.28.8
- Lemma 64.28.9
- Lemma 64.28.10
- Lemma 64.28.11
- Lemma 64.28.12
Section 64.29: Constructible sets
- Lemma 64.29.1
- Theorem 64.29.2: Chevalley's Theorem
Section 64.30: Flat morphisms
- Definition 64.30.1
- Lemma 64.30.2
- Lemma 64.30.3
- Lemma 64.30.4
- Lemma 64.30.5
- Lemma 64.30.6
- Lemma 64.30.7
- Lemma 64.30.8
- Lemma 64.30.9
- Lemma 64.30.10
- Lemma 64.30.11
- Lemma 64.30.12
Section 64.31: Flat modules
- Lemma 64.31.1
- Definition 64.31.2
- Lemma 64.31.3
- Lemma 64.31.4
- Lemma 64.31.5
- Lemma 64.31.6
Section 64.32: Generic flatness
- Proposition 64.32.1
- Proposition 64.32.2
Section 64.33: Relative dimension
- Definition 64.33.1
- Definition 64.33.2
- Lemma 64.33.3
- Lemma 64.33.4
- Lemma 64.33.5
Section 64.34: Morphisms and dimensions of fibres
- Lemma 64.34.1
- Lemma 64.34.2
- Lemma 64.34.3
- Lemma 64.34.4
- Lemma 64.34.5
- Lemma 64.34.6
- Lemma 64.34.7
- Lemma 64.34.8
Section 64.35: The dimension formula
- Lemma 64.35.1
- Lemma 64.35.2
Section 64.36: Syntomic morphisms
- Definition 64.36.1
- Lemma 64.36.2
- Lemma 64.36.3
- Lemma 64.36.4
- Lemma 64.36.5
- Lemma 64.36.6
- Lemma 64.36.7
Section 64.37: Smooth morphisms
- Definition 64.37.1
- Lemma 64.37.2
- Lemma 64.37.3
- Lemma 64.37.4
- Lemma 64.37.5
- Lemma 64.37.6
- Lemma 64.37.7
- Lemma 64.37.8
- Lemma 64.37.9
- Lemma 64.37.10
Section 64.38: Unramified morphisms
- Definition 64.38.1
- Lemma 64.38.2
- Lemma 64.38.3
- Lemma 64.38.4
- Lemma 64.38.5
- Lemma 64.38.6
- Lemma 64.38.7
- Lemma 64.38.8
- Lemma 64.38.9
- Lemma 64.38.10
- Lemma 64.38.11
Section 64.39: Étale morphisms
- Definition 64.39.1
- Lemma 64.39.2
- Lemma 64.39.3
- Lemma 64.39.4
- Lemma 64.39.5
- Lemma 64.39.6
- Lemma 64.39.7
- Lemma 64.39.8 slogan
- Lemma 64.39.9
- Lemma 64.39.10
- Lemma 64.39.11
- Lemma 64.39.12
Section 64.40: Proper morphisms
- Definition 64.40.1
- Lemma 64.40.2
- Lemma 64.40.3
- Lemma 64.40.4
- Lemma 64.40.5
- Lemma 64.40.6
- Lemma 64.40.7
- Lemma 64.40.8
- Lemma 64.40.9
Section 64.41: Valuative criteria
- Definition 64.41.1
- Lemma 64.41.2
- Lemma 64.41.3
- Lemma 64.41.4
- Lemma 64.41.5
- Example 64.41.6
- Lemma 64.41.7
- Lemma 64.41.8
Section 64.42: Valuative criterion for universal closedness
- Lemma 64.42.1
- Lemma 64.42.2
- Lemma 64.42.3
- Lemma 64.42.4
- Lemma 64.42.5
  - Equation 64.42.5.1
Section 64.43: Valuative criterion of separatedness
- Lemma 64.43.1
- Lemma 64.43.2: Valuative criterion separatedness
- Lemma 64.43.3
Section 64.44: Valuative criterion of properness
- Lemma 64.44.1: Valuative criterion for properness
Section 64.45: Integral and finite morphisms
- Lemma 64.45.1
- Definition 64.45.2
- Lemma 64.45.3
- Lemma 64.45.4
- Lemma 64.45.5
- Lemma 64.45.6
- Lemma 64.45.7
- Lemma 64.45.8
- Lemma 64.45.9
- Lemma 64.45.10
- Lemma 64.45.11
- Lemma 64.45.12
Section 64.46: Finite locally free morphisms
- Lemma 64.46.1
- Definition 64.46.2
- Lemma 64.46.3
- Lemma 64.46.4
- Lemma 64.46.5
- Lemma 64.46.6
Section 64.47: Rational maps
- Definition 64.47.1
- Definition 64.47.2
- Definition 64.47.3
- Definition 64.47.4
- Lemma 64.47.5
- Definition 64.47.6
- Definition 64.47.7
- Lemma 64.47.8
Section 64.48: Relative normalization of algebraic spaces
- Lemma 64.48.1
- Definition 64.48.2
- Definition 64.48.3
- Lemma 64.48.4
- Lemma 64.48.5
- Lemma 64.48.6
- Lemma 64.48.7
- Lemma 64.48.8
- Lemma 64.48.9
- Lemma 64.48.10
- Lemma 64.48.11
Section 64.49: Normalization
- Lemma 64.49.1
- Lemma 64.49.2
- Definition 64.49.3
- Lemma 64.49.4
- Lemma 64.49.5
- Lemma 64.49.6
Section 64.50: Separated, locally quasi-finite morphisms
- Lemma 64.50.1
- Proposition 64.50.2
Section 64.51: Applications
- Lemma 64.51.1
- Lemma 64.51.2 slogan
Section 64.52: Zariski's Main Theorem (representable case)
- Lemma 64.52.1
- Lemma 64.52.2
Section 64.53: Universal homeomorphisms
- Lemma 64.53.1
- Definition 64.53.2
- Example 64.53.3
- Lemma 64.53.4
- Lemma 64.53.5
- Lemma 64.53.6
- Lemma 64.53.7