33 Varieties

• Section 33.1: Introduction
• Section 33.2: Notation
• Section 33.3: Varieties
  • Definition 33.3.1
  • Example 33.3.2
  • Lemma 33.3.3 slogan
• Section 33.4: Varieties and rational maps
  • Theorem 33.4.1
  • Lemma 33.4.2
• Section 33.5: Change of fields and local rings
  • Lemma 33.5.1
  • Lemma 33.5.2
  • Lemma 33.5.3
• Section 33.6: Geometrically reduced schemes
  • Definition 33.6.1
  • Lemma 33.6.2 slogan
  • Lemma 33.6.3
  • Lemma 33.6.4
  • Lemma 33.6.5
  • Lemma 33.6.6
  • Lemma 33.6.7
  • Lemma 33.6.8
  • Lemma 33.6.9
  • Example 33.6.10
  • Lemma 33.6.11
• Section 33.7: Geometrically connected schemes
  • Definition 33.7.1
  • Example 33.7.2
  • Lemma 33.7.3
  • Lemma 33.7.4
  • Lemma 33.7.5
  • Lemma 33.7.6
  • Lemma 33.7.7
  • Lemma 33.7.8
    • Equation 33.7.8.1
  • Lemma 33.7.9
  • Lemma 33.7.10
  • Lemma 33.7.11
  • Lemma 33.7.12
  • Lemma 33.7.13 reference
  • Lemma 33.7.14
  • Lemma 33.7.15
  • Lemma 33.7.16
  • Lemma 33.7.17: Gabber reference
  • Lemma 33.7.18
  • Lemma 33.7.19
• Section 33.8: Geometrically irreducible schemes
  • Definition 33.8.1
  • Lemma 33.8.2
  • Lemma 33.8.3
  • Lemma 33.8.4
  • Lemma 33.8.5 slogan
  • Lemma 33.8.6
  • Lemma 33.8.7
  • Lemma 33.8.8 slogan
  • Lemma 33.8.9
  • Lemma 33.8.10
  • Lemma 33.8.11
  • Lemma 33.8.12
  • Lemma 33.8.13
  • Lemma 33.8.14
  • Lemma 33.8.15
  • Lemma 33.8.16
• Section 33.9: Geometrically integral schemes
  • Definition 33.9.1
  • Lemma 33.9.2
  • Lemma 33.9.3
  • Lemma 33.9.4
  • Lemma 33.9.5
• Section 33.10: Geometrically normal schemes
  • Definition 33.10.1
  • Lemma 33.10.2
  • Lemma 33.10.3
  • Lemma 33.10.4
  • Lemma 33.10.5
  • Lemma 33.10.6
  • Lemma 33.10.7
• Section 33.11: Change of fields and locally Noetherian schemes
  • Lemma 33.11.1
• Section 33.12: Geometrically regular schemes
  • Definition 33.12.1
  • Lemma 33.12.2
  • Lemma 33.12.3
  • Lemma 33.12.4
  • Lemma 33.12.5
  • Lemma 33.12.6
  • Example 33.12.7
• Section 33.13: Change of fields and the Cohen-Macaulay property
  • Lemma 33.13.1
• Section 33.14: Change of fields and the Jacobson property
  • Lemma 33.14.1
  • Lemma 33.14.2
• Section 33.15: Change of fields and ample invertible sheaves
  • Lemma 33.15.1
  • Lemma 33.15.2
  • Lemma 33.15.3
  • Lemma 33.15.4
  • Lemma 33.15.5
• Section 33.16: Tangent spaces
  • Definition 33.16.1
    • Equation 33.16.1.1
  • Lemma 33.16.2
  • Definition 33.16.3
    • Equation 33.16.3.1
  • Lemma 33.16.4
  • Lemma 33.16.5
  • Lemma 33.16.6
  • Lemma 33.16.7
  • Lemma 33.16.8
• Section 33.17: Generically finite morphisms
  • Lemma 33.17.1
  • Lemma 33.17.2
  • Lemma 33.17.3
• Section 33.18: Variants of Noether normalization
  • Lemma 33.18.1
  • Lemma 33.18.2
  • Lemma 33.18.3
  • Lemma 33.18.4
  • Lemma 33.18.5
• Section 33.19: Dimension of fibres
  • Lemma 33.19.1
  • Lemma 33.19.2
  • Lemma 33.19.3
• Section 33.20: Algebraic schemes
  • Definition 33.20.1
  • Lemma 33.20.2
  • Lemma 33.20.3
  • Lemma 33.20.4
  • Lemma 33.20.5 slogan
• Section 33.21: Complete local rings
  • Lemma 33.21.1
    • Equation 33.21.1.1
  • Lemma 33.21.2
• Section 33.22: Global generation
  • Lemma 33.22.1
  • Lemma 33.22.2
  • Lemma 33.22.3
• Section 33.23: Separating points and tangent vectors
  • Lemma 33.23.1
  • Lemma 33.23.2
• Section 33.24: Closures of products
  • Lemma 33.24.1
  • Lemma 33.24.2
  • Lemma 33.24.3
• Section 33.25: Schemes smooth over fields
  • Lemma 33.25.1
  • Lemma 33.25.2
  • Lemma 33.25.3 slogan
  • Lemma 33.25.4
  • Lemma 33.25.5
  • Lemma 33.25.6
  • Lemma 33.25.7
  • Lemma 33.25.8
  • Lemma 33.25.9
  • Lemma 33.25.10
  • Lemma 33.25.11
• Section 33.26: Types of varieties
  • Definition 33.26.1
  • Lemma 33.26.2
• Section 33.27: Normalization
  • Lemma 33.27.1
  • Lemma 33.27.2
  • Lemma 33.27.3
  • Lemma 33.27.4
  • Lemma 33.27.5
  • Lemma 33.27.6
• Section 33.28: Groups of invertible functions
  • Lemma 33.28.1
  • Lemma 33.28.2
  • Lemma 33.28.3
  • Lemma 33.28.4
  • Proposition 33.28.5
  • Lemma 33.28.6
• Section 33.29: Künneth formula, I
  • Lemma 33.29.1
    • Equation 33.29.1.1
  • Lemma 33.29.2
• Section 33.30: Picard groups of varieties
  • Lemma 33.30.1
  • Lemma 33.30.2
  • Lemma 33.30.3
  • Example 33.30.4
  • Lemma 33.30.5
• Section 33.31: Uniqueness of base field
  • Proposition 33.31.1
• Section 33.32: Automorphisms
  • Lemma 33.32.1
• Section 33.33: Euler characteristics
  • Definition 33.33.1
  • Lemma 33.33.2
  • Lemma 33.33.3
  • Lemma 33.33.4
  • Lemma 33.33.5
• Section 33.34: Projective space
  • Lemma 33.34.1 slogan
  • Lemma 33.34.2
  • Lemma 33.34.3
  • Lemma 33.34.4
• Section 33.35: Coherent sheaves on projective space
  • Subsection 33.35.1: Preliminaries
  • Lemma 33.35.2
  • Lemma 33.35.3
  • Remark 33.35.4
  • Remark 33.35.5
  • Subsection 33.35.6: Regularity
  • Definition 33.35.7
  • Lemma 33.35.8
  • Lemma 33.35.9
  • Lemma 33.35.10
  • Lemma 33.35.11
  • Lemma 33.35.12
  • Subsection 33.35.13: Hilbert polynomials
  • Lemma 33.35.14
  • Definition 33.35.15
  • Lemma 33.35.16
  • Subsection 33.35.17: Boundedness of quotients
  • Lemma 33.35.18
• Section 33.36: Frobenii
  • Definition 33.36.1
  • Lemma 33.36.2
  • Lemma 33.36.3
  • Definition 33.36.4
  • Lemma 33.36.5
  • Lemma 33.36.6
  • Lemma 33.36.7
  • Lemma 33.36.8
  • Lemma 33.36.9
  • Lemma 33.36.10
  • Remark 33.36.11
• Section 33.37: Glueing dimension one rings
  • Situation 33.37.1
  • Lemma 33.37.2
  • Lemma 33.37.3
  • Lemma 33.37.4
  • Lemma 33.37.5
  • Lemma 33.37.6
  • Lemma 33.37.7
  • Lemma 33.37.8
  • Lemma 33.37.9
  • Lemma 33.37.10
  • Lemma 33.37.11
  • Lemma 33.37.12
• Section 33.38: One dimensional Noetherian schemes
  • Lemma 33.38.1
  • Lemma 33.38.2
  • Lemma 33.38.3
  • Lemma 33.38.4
  • Lemma 33.38.5
  • Lemma 33.38.6
  • Lemma 33.38.7
  • Lemma 33.38.8
  • Remark 33.38.9
  • Lemma 33.38.10
  • Lemma 33.38.11
  • Proposition 33.38.12
  • Remark 33.38.13
  • Lemma 33.38.14
• Section 33.39: The delta invariant
  • Lemma 33.39.1
  • Lemma 33.39.2
  • Definition 33.39.3
  • Lemma 33.39.4
  • Lemma 33.39.5
  • Lemma 33.39.6
  • Definition 33.39.7
  • Lemma 33.39.8
  • Lemma 33.39.9
• Section 33.40: The number of branches
  • Lemma 33.40.1
  • Lemma 33.40.2
  • Lemma 33.40.3
  • Definition 33.40.4
  • Lemma 33.40.5
  • Lemma 33.40.6
• Section 33.41: Normalization of one dimensional schemes
  • Lemma 33.41.1
  • Lemma 33.41.2
• Section 33.42: Finding affine opens
  • Lemma 33.42.1
  • Lemma 33.42.2
  • Lemma 33.42.3
  • Lemma 33.42.4
  • Lemma 33.42.5
  • Lemma 33.42.6
  • Proposition 33.42.7
• Section 33.43: Curves
  • Definition 33.43.1
  • Lemma 33.43.2
  • Lemma 33.43.3
  • Lemma 33.43.4
  • Lemma 33.43.5
  • Lemma 33.43.6
  • Lemma 33.43.7
  • Lemma 33.43.8
  • Remark 33.43.9
  • Lemma 33.43.10
  • Lemma 33.43.11
• Section 33.44: Degrees on curves
  • Definition 33.44.1
  • Lemma 33.44.2
  • Lemma 33.44.3
  • Lemma 33.44.4
  • Lemma 33.44.5
  • Lemma 33.44.6
  • Lemma 33.44.7
  • Lemma 33.44.8
  • Lemma 33.44.9
  • Lemma 33.44.10
  • Lemma 33.44.11
  • Lemma 33.44.12
  • Lemma 33.44.13
  • Lemma 33.44.14
  • Lemma 33.44.15
  • Lemma 33.44.16
  • Lemma 33.44.17
• Section 33.45: Numerical intersections
  • Lemma 33.45.1
  • Lemma 33.45.2
  • Definition 33.45.3
  • Lemma 33.45.4
  • Lemma 33.45.5
  • Lemma 33.45.6
  • Lemma 33.45.7
  • Lemma 33.45.8
  • Lemma 33.45.9
  • Definition 33.45.10
  • Lemma 33.45.11
  • Lemma 33.45.12
  • Proposition 33.45.13: Asymptotic Riemann-Roch
• Section 33.46: Embedding dimension
  • Definition 33.46.1
  • Definition 33.46.2
• Section 33.47: Bertini theorems
  • Lemma 33.47.1
  • Situation 33.47.2
  • Lemma 33.47.3
• Section 33.48: Enriques-Severi-Zariski
  • Lemma 33.48.1
  • Lemma 33.48.2: Enriques-Severi-Zariski
  • Lemma 33.48.3