100 Morphisms of Algebraic Stacks

• Section 100.1: Introduction
• Section 100.2: Conventions and abuse of language
• Section 100.3: Properties of diagonals
  • Lemma 100.3.1
  • Lemma 100.3.2
  • Lemma 100.3.3 slogan
    • Equation 100.3.3.1
  • Lemma 100.3.4
  • Lemma 100.3.5
  • Lemma 100.3.6
  • Lemma 100.3.7
• Section 100.4: Separation axioms
  • Definition 100.4.1
  • Definition 100.4.2
  • Lemma 100.4.3
  • Lemma 100.4.4
  • Lemma 100.4.5
  • Lemma 100.4.6
  • Lemma 100.4.7
  • Lemma 100.4.8
  • Lemma 100.4.9
  • Lemma 100.4.10
  • Lemma 100.4.11
  • Lemma 100.4.12
  • Lemma 100.4.13
  • Lemma 100.4.14
  • Lemma 100.4.15
  • Lemma 100.4.16
• Section 100.5: Inertia stacks
  • Lemma 100.5.1
  • Remark 100.5.2
    • Equation 100.5.2.1
  • Definition 100.5.3
  • Lemma 100.5.4
  • Lemma 100.5.5
  • Lemma 100.5.6
  • Lemma 100.5.7
• Section 100.6: Higher diagonals
  • Lemma 100.6.1
  • Lemma 100.6.2
  • Lemma 100.6.3
  • Lemma 100.6.4
  • Lemma 100.6.5
  • Lemma 100.6.6
• Section 100.7: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 100.7.1
  • Definition 100.7.2
  • Lemma 100.7.3
  • Lemma 100.7.4
  • Lemma 100.7.5
  • Lemma 100.7.6
  • Lemma 100.7.7
  • Lemma 100.7.8
  • Lemma 100.7.9
  • Lemma 100.7.10
• Section 100.8: Noetherian algebraic stacks
  • Definition 100.8.1
  • Lemma 100.8.2
  • Lemma 100.8.3
  • Lemma 100.8.4
• Section 100.9: Affine morphisms
  • Definition 100.9.1
  • Lemma 100.9.2
  • Lemma 100.9.3
  • Lemma 100.9.4
• Section 100.10: Integral and finite morphisms
  • Definition 100.10.1
  • Lemma 100.10.2
  • Lemma 100.10.3
• Section 100.11: Open morphisms
  • Lemma 100.11.1
  • Definition 100.11.2
  • Lemma 100.11.3
  • Lemma 100.11.4
• Section 100.12: Submersive morphisms
  • Lemma 100.12.1
  • Definition 100.12.2
  • Lemma 100.12.3
  • Lemma 100.12.4
• Section 100.13: Universally closed morphisms
  • Lemma 100.13.1
  • Definition 100.13.2
  • Lemma 100.13.3
  • Lemma 100.13.4
  • Lemma 100.13.5
• Section 100.14: Universally injective morphisms
  • Lemma 100.14.1
  • Definition 100.14.2
  • Lemma 100.14.3
  • Lemma 100.14.4
  • Lemma 100.14.5
  • Lemma 100.14.6
  • Lemma 100.14.7
  • Lemma 100.14.8
• Section 100.15: Universal homeomorphisms
  • Lemma 100.15.1
  • Definition 100.15.2
  • Lemma 100.15.3
  • Lemma 100.15.4
  • Lemma 100.15.5
• Section 100.16: Types of morphisms smooth local on source-and-target
  • Lemma 100.16.1
  • Definition 100.16.2
  • Remark 100.16.3
  • Remark 100.16.4
  • Remark 100.16.5
• Section 100.17: Morphisms of finite type
  • Definition 100.17.1
  • Lemma 100.17.2
  • Lemma 100.17.3
  • Lemma 100.17.4
  • Lemma 100.17.5
  • Lemma 100.17.6
  • Lemma 100.17.7
  • Lemma 100.17.8
• Section 100.18: Points of finite type
  • Lemma 100.18.1
  • Definition 100.18.2
  • Lemma 100.18.3
  • Lemma 100.18.4
  • Lemma 100.18.5
  • Lemma 100.18.6
  • Lemma 100.18.7
• Section 100.19: Automorphism groups
  • Lemma 100.19.1
  • Lemma 100.19.2
  • Remark 100.19.3
  • Lemma 100.19.4
  • Remark 100.19.5
• Section 100.20: Presentations and properties of algebraic stacks
  • Lemma 100.20.1
  • Lemma 100.20.2
• Section 100.21: Special presentations of algebraic stacks
  • Lemma 100.21.1
  • Lemma 100.21.2
  • Theorem 100.21.3
  • Lemma 100.21.4
    • Equation 100.21.4.1
  • Lemma 100.21.5
  • Theorem 100.21.6
  • Lemma 100.21.7
• Section 100.22: The Deligne-Mumford locus
  • Lemma 100.22.1
  • Lemma 100.22.2
• Section 100.23: Locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 100.23.1
  • Definition 100.23.2
  • Lemma 100.23.3
  • Lemma 100.23.4
  • Lemma 100.23.5
  • Lemma 100.23.6
  • Lemma 100.23.7
  • Lemma 100.23.8
• Section 100.24: Quasi-finite morphisms
  • Definition 100.24.1 reference
  • Lemma 100.24.2
  • Lemma 100.24.3
  • Lemma 100.24.4
• Section 100.25: Flat morphisms
  • Definition 100.25.1
  • Lemma 100.25.2
  • Lemma 100.25.3
  • Lemma 100.25.4
  • Lemma 100.25.5
  • Lemma 100.25.6
• Section 100.26: Flat at a point
  • Lemma 100.26.1
  • Definition 100.26.2
• Section 100.27: Morphisms of finite presentation
  • Definition 100.27.1
  • Lemma 100.27.2
  • Lemma 100.27.3
  • Lemma 100.27.4
  • Lemma 100.27.5
  • Lemma 100.27.6
  • Lemma 100.27.7
  • Lemma 100.27.8
  • Lemma 100.27.9
  • Lemma 100.27.10
  • Lemma 100.27.11
  • Lemma 100.27.12
  • Lemma 100.27.13
  • Lemma 100.27.14
  • Lemma 100.27.15
  • Lemma 100.27.16
  • Lemma 100.27.17
• Section 100.28: Gerbes
  • Definition 100.28.1
  • Lemma 100.28.2
  • Lemma 100.28.3
  • Lemma 100.28.4
  • Lemma 100.28.5
  • Lemma 100.28.6
  • Lemma 100.28.7
  • Lemma 100.28.8
  • Proposition 100.28.9
  • Lemma 100.28.10
  • Proposition 100.28.11
  • Lemma 100.28.12
  • Lemma 100.28.13
  • Lemma 100.28.14
  • Lemma 100.28.15
• Section 100.29: Stratification by gerbes
  • Proposition 100.29.1
  • Example 100.29.2
  • Lemma 100.29.3
  • Remark 100.29.4
• Section 100.30: The topological space of an algebraic stack
  • Lemma 100.30.1
  • Lemma 100.30.2
  • Lemma 100.30.3
• Section 100.31: Existence of residual gerbes
  • Lemma 100.31.1
  • Lemma 100.31.2
  • Lemma 100.31.3
• Section 100.32: Étale local structure
  • Lemma 100.32.1
  • Lemma 100.32.2
  • Lemma 100.32.3
  • Lemma 100.32.4
  • Lemma 100.32.5
• Section 100.33: Smooth morphisms
  • Definition 100.33.1
  • Lemma 100.33.2
  • Lemma 100.33.3
  • Lemma 100.33.4
  • Lemma 100.33.5
  • Lemma 100.33.6
  • Lemma 100.33.7
  • Lemma 100.33.8
• Section 100.34: Types of morphisms étale-smooth local on source-and-target
  • Lemma 100.34.1
  • Definition 100.34.2
  • Remark 100.34.3
  • Remark 100.34.4
  • Remark 100.34.5
• Section 100.35: Étale morphisms
  • Definition 100.35.1
  • Lemma 100.35.2
  • Lemma 100.35.3
  • Lemma 100.35.4
  • Lemma 100.35.5
  • Lemma 100.35.6
• Section 100.36: Unramified morphisms
  • Definition 100.36.1
  • Lemma 100.36.2
  • Lemma 100.36.3
  • Lemma 100.36.4
  • Lemma 100.36.5
  • Lemma 100.36.6
  • Lemma 100.36.7
  • Lemma 100.36.8
  • Lemma 100.36.9
• Section 100.37: Proper morphisms
  • Definition 100.37.1
  • Lemma 100.37.2
  • Lemma 100.37.3
  • Lemma 100.37.4
  • Lemma 100.37.5
  • Lemma 100.37.6
• Section 100.38: Scheme theoretic image
  • Definition 100.38.1
  • Lemma 100.38.2
  • Lemma 100.38.3
  • Lemma 100.38.4
  • Lemma 100.38.5
  • Lemma 100.38.6
  • Lemma 100.38.7
• Section 100.39: Valuative criteria
  • Definition 100.39.1
    • Equation 100.39.1.1
  • Lemma 100.39.2
  • Lemma 100.39.3
  • Lemma 100.39.4
  • Lemma 100.39.5
  • Definition 100.39.6
  • Lemma 100.39.7
  • Lemma 100.39.8
  • Lemma 100.39.9
  • Definition 100.39.10
  • Lemma 100.39.11
  • Lemma 100.39.12
  • Lemma 100.39.13
  • Lemma 100.39.14
• Section 100.40: Valuative criterion for second diagonal
  • Lemma 100.40.1
• Section 100.41: Valuative criterion for the diagonal
  • Lemma 100.41.1
  • Lemma 100.41.2
  • Lemma 100.41.3
• Section 100.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 100.42.1
  • Lemma 100.42.2
• Section 100.43: Valuative criterion for properness
  • Lemma 100.43.1
• Section 100.44: Local complete intersection morphisms
  • Definition 100.44.1
  • Lemma 100.44.2
  • Lemma 100.44.3
  • Lemma 100.44.4
• Section 100.45: Stabilizer preserving morphisms
  • Lemma 100.45.1
  • Remark 100.45.2
  • Lemma 100.45.3
  • Lemma 100.45.4 reference
  • Lemma 100.45.5
  • Lemma 100.45.6
  • Lemma 100.45.7
• Section 100.46: Normalization
  • Lemma 100.46.1
  • Lemma 100.46.2
  • Definition 100.46.3
• Section 100.47: Points and specializations
  • Lemma 100.47.1
• Section 100.48: Decent algebraic stacks
  • Definition 100.48.1
  • Lemma 100.48.2
  • Lemma 100.48.3
  • Lemma 100.48.4
  • Lemma 100.48.5
• Section 100.49: Points on decent stacks
  • Lemma 100.49.1
  • Lemma 100.49.2
  • Proposition 100.49.3
• Section 100.50: Integral algebraic stacks
  • Definition 100.50.1
  • Lemma 100.50.2
  • Lemma 100.50.3
  • Lemma 100.50.4
• Section 100.51: Residual gerbes
  • Lemma 100.51.1
  • Lemma 100.51.2
  • Remark 100.51.3
  • Lemma 100.51.4