99 Morphisms of Algebraic Stacks

• Section 99.1: Introduction
• Section 99.2: Conventions and abuse of language
• Section 99.3: Properties of diagonals
  • Lemma 99.3.1
  • Lemma 99.3.2
  • Lemma 99.3.3 slogan
    • Equation 99.3.3.1
  • Lemma 99.3.4
  • Lemma 99.3.5
  • Lemma 99.3.6
  • Lemma 99.3.7
• Section 99.4: Separation axioms
  • Definition 99.4.1
  • Definition 99.4.2
  • Lemma 99.4.3
  • Lemma 99.4.4
  • Lemma 99.4.5
  • Lemma 99.4.6
  • Lemma 99.4.7
  • Lemma 99.4.8
  • Lemma 99.4.9
  • Lemma 99.4.10
  • Lemma 99.4.11
  • Lemma 99.4.12
  • Lemma 99.4.13
  • Lemma 99.4.14
  • Lemma 99.4.15
  • Lemma 99.4.16
• Section 99.5: Inertia stacks
  • Lemma 99.5.1
  • Remark 99.5.2
    • Equation 99.5.2.1
  • Definition 99.5.3
  • Lemma 99.5.4
  • Lemma 99.5.5
  • Lemma 99.5.6
  • Lemma 99.5.7
• Section 99.6: Higher diagonals
  • Lemma 99.6.1
  • Lemma 99.6.2
  • Lemma 99.6.3
  • Lemma 99.6.4
  • Lemma 99.6.5
  • Lemma 99.6.6
• Section 99.7: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 99.7.1
  • Definition 99.7.2
  • Lemma 99.7.3
  • Lemma 99.7.4
  • Lemma 99.7.5
  • Lemma 99.7.6
  • Lemma 99.7.7
  • Lemma 99.7.8
  • Lemma 99.7.9
  • Lemma 99.7.10
• Section 99.8: Noetherian algebraic stacks
  • Definition 99.8.1
  • Lemma 99.8.2
  • Lemma 99.8.3
• Section 99.9: Affine morphisms
  • Definition 99.9.1
  • Lemma 99.9.2
  • Lemma 99.9.3
• Section 99.10: Integral and finite morphisms
  • Definition 99.10.1
  • Lemma 99.10.2
  • Lemma 99.10.3
• Section 99.11: Open morphisms
  • Lemma 99.11.1
  • Definition 99.11.2
  • Lemma 99.11.3
  • Lemma 99.11.4
• Section 99.12: Submersive morphisms
  • Lemma 99.12.1
  • Definition 99.12.2
  • Lemma 99.12.3
  • Lemma 99.12.4
• Section 99.13: Universally closed morphisms
  • Lemma 99.13.1
  • Definition 99.13.2
  • Lemma 99.13.3
  • Lemma 99.13.4
  • Lemma 99.13.5
• Section 99.14: Universally injective morphisms
  • Lemma 99.14.1
  • Definition 99.14.2
  • Lemma 99.14.3
  • Lemma 99.14.4
  • Lemma 99.14.5
  • Lemma 99.14.6
  • Lemma 99.14.7
  • Lemma 99.14.8
• Section 99.15: Universal homeomorphisms
  • Lemma 99.15.1
  • Definition 99.15.2
  • Lemma 99.15.3
  • Lemma 99.15.4
  • Lemma 99.15.5
• Section 99.16: Types of morphisms smooth local on source-and-target
  • Lemma 99.16.1
  • Definition 99.16.2
  • Remark 99.16.3
  • Remark 99.16.4
  • Remark 99.16.5
• Section 99.17: Morphisms of finite type
  • Definition 99.17.1
  • Lemma 99.17.2
  • Lemma 99.17.3
  • Lemma 99.17.4
  • Lemma 99.17.5
  • Lemma 99.17.6
  • Lemma 99.17.7
  • Lemma 99.17.8
• Section 99.18: Points of finite type
  • Lemma 99.18.1
  • Definition 99.18.2
  • Lemma 99.18.3
  • Lemma 99.18.4
  • Lemma 99.18.5
  • Lemma 99.18.6
  • Lemma 99.18.7
• Section 99.19: Automorphism groups
  • Lemma 99.19.1
  • Lemma 99.19.2
  • Remark 99.19.3
  • Lemma 99.19.4
  • Remark 99.19.5
• Section 99.20: Presentations and properties of algebraic stacks
  • Lemma 99.20.1
  • Lemma 99.20.2
• Section 99.21: Special presentations of algebraic stacks
  • Lemma 99.21.1
  • Lemma 99.21.2
  • Theorem 99.21.3
  • Lemma 99.21.4
    • Equation 99.21.4.1
  • Lemma 99.21.5
  • Theorem 99.21.6
  • Lemma 99.21.7
• Section 99.22: The Deligne-Mumford locus
  • Lemma 99.22.1
  • Lemma 99.22.2
• Section 99.23: Locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 99.23.1
  • Definition 99.23.2
  • Lemma 99.23.3
  • Lemma 99.23.4
  • Lemma 99.23.5
  • Lemma 99.23.6
  • Lemma 99.23.7
  • Lemma 99.23.8
• Section 99.24: Quasi-finite morphisms
  • Definition 99.24.1 reference
  • Lemma 99.24.2
  • Lemma 99.24.3
  • Lemma 99.24.4
• Section 99.25: Flat morphisms
  • Definition 99.25.1
  • Lemma 99.25.2
  • Lemma 99.25.3
  • Lemma 99.25.4
  • Lemma 99.25.5
  • Lemma 99.25.6
• Section 99.26: Flat at a point
  • Lemma 99.26.1
  • Definition 99.26.2
• Section 99.27: Morphisms of finite presentation
  • Definition 99.27.1
  • Lemma 99.27.2
  • Lemma 99.27.3
  • Lemma 99.27.4
  • Lemma 99.27.5
  • Lemma 99.27.6
  • Lemma 99.27.7
  • Lemma 99.27.8
  • Lemma 99.27.9
  • Lemma 99.27.10
  • Lemma 99.27.11
  • Lemma 99.27.12
  • Lemma 99.27.13
  • Lemma 99.27.14
  • Lemma 99.27.15
  • Lemma 99.27.16
  • Lemma 99.27.17
• Section 99.28: Gerbes
  • Definition 99.28.1
  • Lemma 99.28.2
  • Lemma 99.28.3
  • Lemma 99.28.4
  • Lemma 99.28.5
  • Lemma 99.28.6
  • Lemma 99.28.7
  • Lemma 99.28.8
  • Proposition 99.28.9
  • Lemma 99.28.10
  • Proposition 99.28.11
  • Lemma 99.28.12
  • Lemma 99.28.13
  • Lemma 99.28.14
  • Lemma 99.28.15
• Section 99.29: Stratification by gerbes
  • Proposition 99.29.1
  • Example 99.29.2
  • Lemma 99.29.3
  • Remark 99.29.4
• Section 99.30: The topological space of an algebraic stack
  • Lemma 99.30.1
  • Lemma 99.30.2
  • Lemma 99.30.3
• Section 99.31: Existence of residual gerbes
  • Lemma 99.31.1
  • Lemma 99.31.2
• Section 99.32: Étale local structure
  • Lemma 99.32.1
  • Lemma 99.32.2
  • Lemma 99.32.3
  • Lemma 99.32.4
  • Lemma 99.32.5
• Section 99.33: Smooth morphisms
  • Definition 99.33.1
  • Lemma 99.33.2
  • Lemma 99.33.3
  • Lemma 99.33.4
  • Lemma 99.33.5
  • Lemma 99.33.6
  • Lemma 99.33.7
  • Lemma 99.33.8
• Section 99.34: Types of morphisms étale-smooth local on source-and-target
  • Lemma 99.34.1
  • Definition 99.34.2
  • Remark 99.34.3
  • Remark 99.34.4
  • Remark 99.34.5
• Section 99.35: Étale morphisms
  • Definition 99.35.1
  • Lemma 99.35.2
  • Lemma 99.35.3
  • Lemma 99.35.4
  • Lemma 99.35.5
  • Lemma 99.35.6
• Section 99.36: Unramified morphisms
  • Definition 99.36.1
  • Lemma 99.36.2
  • Lemma 99.36.3
  • Lemma 99.36.4
  • Lemma 99.36.5
  • Lemma 99.36.6
  • Lemma 99.36.7
  • Lemma 99.36.8
  • Lemma 99.36.9
• Section 99.37: Proper morphisms
  • Definition 99.37.1
  • Lemma 99.37.2
  • Lemma 99.37.3
  • Lemma 99.37.4
  • Lemma 99.37.5
  • Lemma 99.37.6
• Section 99.38: Scheme theoretic image
  • Definition 99.38.1
  • Lemma 99.38.2
  • Lemma 99.38.3
  • Lemma 99.38.4
  • Lemma 99.38.5
  • Lemma 99.38.6
  • Lemma 99.38.7
• Section 99.39: Valuative criteria
  • Definition 99.39.1
    • Equation 99.39.1.1
  • Lemma 99.39.2
  • Lemma 99.39.3
  • Lemma 99.39.4
  • Lemma 99.39.5
  • Definition 99.39.6
  • Lemma 99.39.7
  • Lemma 99.39.8
  • Lemma 99.39.9
  • Definition 99.39.10
  • Lemma 99.39.11
  • Lemma 99.39.12
  • Lemma 99.39.13
  • Lemma 99.39.14
• Section 99.40: Valuative criterion for second diagonal
  • Lemma 99.40.1
• Section 99.41: Valuative criterion for the diagonal
  • Lemma 99.41.1
  • Lemma 99.41.2
  • Lemma 99.41.3
• Section 99.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 99.42.1
  • Lemma 99.42.2
• Section 99.43: Valuative criterion for properness
  • Lemma 99.43.1
• Section 99.44: Local complete intersection morphisms
  • Definition 99.44.1
  • Lemma 99.44.2
  • Lemma 99.44.3
  • Lemma 99.44.4
• Section 99.45: Stabilizer preserving morphisms
  • Lemma 99.45.1
  • Remark 99.45.2
  • Lemma 99.45.3
  • Lemma 99.45.4 reference
  • Lemma 99.45.5
  • Lemma 99.45.6
  • Lemma 99.45.7
• Section 99.46: Normalization
  • Lemma 99.46.1
  • Lemma 99.46.2
  • Definition 99.46.3