93 Morphisms of Algebraic Stacks

• Section 93.1: Introduction
• Section 93.2: Conventions and abuse of language
• Section 93.3: Properties of diagonals
  • Lemma 93.3.1
  • Lemma 93.3.2
  • Lemma 93.3.3 slogan
    • Equation 93.3.3.1
  • Lemma 93.3.4
  • Lemma 93.3.5
  • Lemma 93.3.6
  • Lemma 93.3.7
• Section 93.4: Separation axioms
  • Definition 93.4.1
  • Definition 93.4.2
  • Lemma 93.4.3
  • Lemma 93.4.4
  • Lemma 93.4.5
  • Lemma 93.4.6
  • Lemma 93.4.7
  • Lemma 93.4.8
  • Lemma 93.4.9
  • Lemma 93.4.10
  • Lemma 93.4.11
  • Lemma 93.4.12
  • Lemma 93.4.13
  • Lemma 93.4.14
  • Lemma 93.4.15
  • Lemma 93.4.16
• Section 93.5: Inertia stacks
  • Lemma 93.5.1
  • Remark 93.5.2
    • Equation 93.5.2.1
  • Definition 93.5.3
  • Lemma 93.5.4
  • Lemma 93.5.5
  • Lemma 93.5.6
  • Lemma 93.5.7
• Section 93.6: Higher diagonals
  • Lemma 93.6.1
  • Lemma 93.6.2
  • Lemma 93.6.3
  • Lemma 93.6.4
  • Lemma 93.6.5
  • Lemma 93.6.6
• Section 93.7: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 93.7.1
  • Definition 93.7.2
  • Lemma 93.7.3
  • Lemma 93.7.4
  • Lemma 93.7.5
  • Lemma 93.7.6
  • Lemma 93.7.7
  • Lemma 93.7.8
  • Lemma 93.7.9
  • Lemma 93.7.10
• Section 93.8: Noetherian algebraic stacks
  • Definition 93.8.1
  • Lemma 93.8.2
  • Lemma 93.8.3
• Section 93.9: Affine morphisms
  • Definition 93.9.1
  • Lemma 93.9.2
  • Lemma 93.9.3
• Section 93.10: Integral and finite morphisms
  • Definition 93.10.1
  • Lemma 93.10.2
  • Lemma 93.10.3
• Section 93.11: Open morphisms
  • Lemma 93.11.1
  • Definition 93.11.2
  • Lemma 93.11.3
  • Lemma 93.11.4
• Section 93.12: Submersive morphisms
  • Lemma 93.12.1
  • Definition 93.12.2
  • Lemma 93.12.3
  • Lemma 93.12.4
• Section 93.13: Universally closed morphisms
  • Lemma 93.13.1
  • Definition 93.13.2
  • Lemma 93.13.3
  • Lemma 93.13.4
  • Lemma 93.13.5
• Section 93.14: Universally injective morphisms
  • Lemma 93.14.1
  • Definition 93.14.2
  • Lemma 93.14.3
  • Lemma 93.14.4
  • Lemma 93.14.5
  • Lemma 93.14.6
  • Lemma 93.14.7
  • Lemma 93.14.8
• Section 93.15: Universal homeomorphisms
  • Lemma 93.15.1
  • Definition 93.15.2
  • Lemma 93.15.3
  • Lemma 93.15.4
  • Lemma 93.15.5
• Section 93.16: Types of morphisms smooth local on source-and-target
  • Lemma 93.16.1
  • Definition 93.16.2
  • Remark 93.16.3
  • Remark 93.16.4
  • Remark 93.16.5
• Section 93.17: Morphisms of finite type
  • Definition 93.17.1
  • Lemma 93.17.2
  • Lemma 93.17.3
  • Lemma 93.17.4
  • Lemma 93.17.5
  • Lemma 93.17.6
  • Lemma 93.17.7
  • Lemma 93.17.8
• Section 93.18: Points of finite type
  • Lemma 93.18.1
  • Definition 93.18.2
  • Lemma 93.18.3
  • Lemma 93.18.4
  • Lemma 93.18.5
  • Lemma 93.18.6
  • Lemma 93.18.7
• Section 93.19: Automorphism groups
  • Lemma 93.19.1
  • Lemma 93.19.2
  • Remark 93.19.3
  • Lemma 93.19.4
  • Remark 93.19.5
• Section 93.20: Presentations and properties of algebraic stacks
  • Lemma 93.20.1
  • Lemma 93.20.2
• Section 93.21: Special presentations of algebraic stacks
  • Lemma 93.21.1
  • Lemma 93.21.2
  • Theorem 93.21.3
  • Lemma 93.21.4
    • Equation 93.21.4.1
  • Lemma 93.21.5
  • Theorem 93.21.6
  • Lemma 93.21.7
• Section 93.22: The Deligne-Mumford locus
  • Lemma 93.22.1
  • Lemma 93.22.2
• Section 93.23: Quasi-finite morphisms
  • Lemma 93.23.1
  • Definition 93.23.2
  • Lemma 93.23.3
  • Lemma 93.23.4
  • Lemma 93.23.5
  • Lemma 93.23.6
  • Lemma 93.23.7
  • Lemma 93.23.8
• Section 93.24: Flat morphisms
  • Definition 93.24.1
  • Lemma 93.24.2
  • Lemma 93.24.3
  • Lemma 93.24.4
  • Lemma 93.24.5
  • Lemma 93.24.6
• Section 93.25: Flat at a point
  • Lemma 93.25.1
  • Definition 93.25.2
• Section 93.26: Morphisms of finite presentation
  • Definition 93.26.1
  • Lemma 93.26.2
  • Lemma 93.26.3
  • Lemma 93.26.4
  • Lemma 93.26.5
  • Lemma 93.26.6
  • Lemma 93.26.7
  • Lemma 93.26.8
  • Lemma 93.26.9
  • Lemma 93.26.10
  • Lemma 93.26.11
  • Lemma 93.26.12
  • Lemma 93.26.13
  • Lemma 93.26.14
  • Lemma 93.26.15
  • Lemma 93.26.16
  • Lemma 93.26.17
• Section 93.27: Gerbes
  • Definition 93.27.1
  • Lemma 93.27.2
  • Lemma 93.27.3
  • Lemma 93.27.4
  • Lemma 93.27.5
  • Lemma 93.27.6
  • Lemma 93.27.7
  • Lemma 93.27.8
  • Proposition 93.27.9
  • Lemma 93.27.10
  • Proposition 93.27.11
  • Lemma 93.27.12
  • Lemma 93.27.13
  • Lemma 93.27.14
  • Lemma 93.27.15
• Section 93.28: Stratification by gerbes
  • Proposition 93.28.1
  • Example 93.28.2
  • Lemma 93.28.3
  • Remark 93.28.4
• Section 93.29: The topological space of an algebraic stack
  • Lemma 93.29.1
  • Lemma 93.29.2
  • Lemma 93.29.3
• Section 93.30: Existence of residual gerbes
  • Lemma 93.30.1
  • Lemma 93.30.2
• Section 93.31: Étale local structure
  • Lemma 93.31.1
  • Lemma 93.31.2
  • Lemma 93.31.3
  • Lemma 93.31.4
  • Lemma 93.31.5
• Section 93.32: Smooth morphisms
  • Definition 93.32.1
  • Lemma 93.32.2
  • Lemma 93.32.3
  • Lemma 93.32.4
  • Lemma 93.32.5
  • Lemma 93.32.6
  • Lemma 93.32.7
  • Lemma 93.32.8
• Section 93.33: Types of morphisms étale-smooth local on source-and-target
  • Lemma 93.33.1
  • Definition 93.33.2
  • Remark 93.33.3
  • Remark 93.33.4
  • Remark 93.33.5
• Section 93.34: Étale morphisms
  • Definition 93.34.1
  • Lemma 93.34.2
  • Lemma 93.34.3
  • Lemma 93.34.4
  • Lemma 93.34.5
  • Lemma 93.34.6
• Section 93.35: Unramified morphisms
  • Definition 93.35.1
  • Lemma 93.35.2
  • Lemma 93.35.3
  • Lemma 93.35.4
  • Lemma 93.35.5
  • Lemma 93.35.6
  • Lemma 93.35.7
  • Lemma 93.35.8
  • Lemma 93.35.9
• Section 93.36: Proper morphisms
  • Definition 93.36.1
  • Lemma 93.36.2
  • Lemma 93.36.3
  • Lemma 93.36.4
  • Lemma 93.36.5
  • Lemma 93.36.6
• Section 93.37: Scheme theoretic image
  • Definition 93.37.1
  • Lemma 93.37.2
  • Lemma 93.37.3
  • Lemma 93.37.4
  • Lemma 93.37.5
  • Lemma 93.37.6
  • Lemma 93.37.7
• Section 93.38: Valuative criteria
  • Definition 93.38.1
    • Equation 93.38.1.1
  • Lemma 93.38.2
  • Lemma 93.38.3
  • Lemma 93.38.4
  • Lemma 93.38.5
  • Definition 93.38.6
  • Lemma 93.38.7
  • Lemma 93.38.8
  • Lemma 93.38.9
  • Definition 93.38.10
  • Lemma 93.38.11
  • Lemma 93.38.12
  • Lemma 93.38.13
  • Lemma 93.38.14
• Section 93.39: Valuative criterion for second diagonal
  • Lemma 93.39.1
• Section 93.40: Valuative criterion for the diagonal
  • Lemma 93.40.1
  • Lemma 93.40.2
  • Lemma 93.40.3
• Section 93.41: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 93.41.1
  • Lemma 93.41.2
• Section 93.42: Valuative criterion for properness
  • Lemma 93.42.1
• Section 93.43: Local complete intersection morphisms
  • Definition 93.43.1
  • Lemma 93.43.2
  • Lemma 93.43.3
  • Lemma 93.43.4
• Section 93.44: Stabilizer preserving morphisms
  • Lemma 93.44.1
  • Remark 93.44.2
  • Lemma 93.44.3
  • Lemma 93.44.4 reference
  • Lemma 93.44.5
  • Lemma 93.44.6
  • Lemma 93.44.7