98 Morphisms of Algebraic Stacks

• Section 98.1: Introduction
• Section 98.2: Conventions and abuse of language
• Section 98.3: Properties of diagonals
  • Lemma 98.3.1
  • Lemma 98.3.2
  • Lemma 98.3.3 slogan
    • Equation 98.3.3.1
  • Lemma 98.3.4
  • Lemma 98.3.5
  • Lemma 98.3.6
  • Lemma 98.3.7
• Section 98.4: Separation axioms
  • Definition 98.4.1
  • Definition 98.4.2
  • Lemma 98.4.3
  • Lemma 98.4.4
  • Lemma 98.4.5
  • Lemma 98.4.6
  • Lemma 98.4.7
  • Lemma 98.4.8
  • Lemma 98.4.9
  • Lemma 98.4.10
  • Lemma 98.4.11
  • Lemma 98.4.12
  • Lemma 98.4.13
  • Lemma 98.4.14
  • Lemma 98.4.15
  • Lemma 98.4.16
• Section 98.5: Inertia stacks
  • Lemma 98.5.1
  • Remark 98.5.2
    • Equation 98.5.2.1
  • Definition 98.5.3
  • Lemma 98.5.4
  • Lemma 98.5.5
  • Lemma 98.5.6
  • Lemma 98.5.7
• Section 98.6: Higher diagonals
  • Lemma 98.6.1
  • Lemma 98.6.2
  • Lemma 98.6.3
  • Lemma 98.6.4
  • Lemma 98.6.5
  • Lemma 98.6.6
• Section 98.7: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 98.7.1
  • Definition 98.7.2
  • Lemma 98.7.3
  • Lemma 98.7.4
  • Lemma 98.7.5
  • Lemma 98.7.6
  • Lemma 98.7.7
  • Lemma 98.7.8
  • Lemma 98.7.9
  • Lemma 98.7.10
• Section 98.8: Noetherian algebraic stacks
  • Definition 98.8.1
  • Lemma 98.8.2
  • Lemma 98.8.3
• Section 98.9: Affine morphisms
  • Definition 98.9.1
  • Lemma 98.9.2
  • Lemma 98.9.3
• Section 98.10: Integral and finite morphisms
  • Definition 98.10.1
  • Lemma 98.10.2
  • Lemma 98.10.3
• Section 98.11: Open morphisms
  • Lemma 98.11.1
  • Definition 98.11.2
  • Lemma 98.11.3
  • Lemma 98.11.4
• Section 98.12: Submersive morphisms
  • Lemma 98.12.1
  • Definition 98.12.2
  • Lemma 98.12.3
  • Lemma 98.12.4
• Section 98.13: Universally closed morphisms
  • Lemma 98.13.1
  • Definition 98.13.2
  • Lemma 98.13.3
  • Lemma 98.13.4
  • Lemma 98.13.5
• Section 98.14: Universally injective morphisms
  • Lemma 98.14.1
  • Definition 98.14.2
  • Lemma 98.14.3
  • Lemma 98.14.4
  • Lemma 98.14.5
  • Lemma 98.14.6
  • Lemma 98.14.7
  • Lemma 98.14.8
• Section 98.15: Universal homeomorphisms
  • Lemma 98.15.1
  • Definition 98.15.2
  • Lemma 98.15.3
  • Lemma 98.15.4
  • Lemma 98.15.5
• Section 98.16: Types of morphisms smooth local on source-and-target
  • Lemma 98.16.1
  • Definition 98.16.2
  • Remark 98.16.3
  • Remark 98.16.4
  • Remark 98.16.5
• Section 98.17: Morphisms of finite type
  • Definition 98.17.1
  • Lemma 98.17.2
  • Lemma 98.17.3
  • Lemma 98.17.4
  • Lemma 98.17.5
  • Lemma 98.17.6
  • Lemma 98.17.7
  • Lemma 98.17.8
• Section 98.18: Points of finite type
  • Lemma 98.18.1
  • Definition 98.18.2
  • Lemma 98.18.3
  • Lemma 98.18.4
  • Lemma 98.18.5
  • Lemma 98.18.6
  • Lemma 98.18.7
• Section 98.19: Automorphism groups
  • Lemma 98.19.1
  • Lemma 98.19.2
  • Remark 98.19.3
  • Lemma 98.19.4
  • Remark 98.19.5
• Section 98.20: Presentations and properties of algebraic stacks
  • Lemma 98.20.1
  • Lemma 98.20.2
• Section 98.21: Special presentations of algebraic stacks
  • Lemma 98.21.1
  • Lemma 98.21.2
  • Theorem 98.21.3
  • Lemma 98.21.4
    • Equation 98.21.4.1
  • Lemma 98.21.5
  • Theorem 98.21.6
  • Lemma 98.21.7
• Section 98.22: The Deligne-Mumford locus
  • Lemma 98.22.1
  • Lemma 98.22.2
• Section 98.23: Quasi-finite morphisms
  • Lemma 98.23.1
  • Definition 98.23.2
  • Lemma 98.23.3
  • Lemma 98.23.4
  • Lemma 98.23.5
  • Lemma 98.23.6
  • Lemma 98.23.7
  • Lemma 98.23.8
• Section 98.24: Flat morphisms
  • Definition 98.24.1
  • Lemma 98.24.2
  • Lemma 98.24.3
  • Lemma 98.24.4
  • Lemma 98.24.5
  • Lemma 98.24.6
• Section 98.25: Flat at a point
  • Lemma 98.25.1
  • Definition 98.25.2
• Section 98.26: Morphisms of finite presentation
  • Definition 98.26.1
  • Lemma 98.26.2
  • Lemma 98.26.3
  • Lemma 98.26.4
  • Lemma 98.26.5
  • Lemma 98.26.6
  • Lemma 98.26.7
  • Lemma 98.26.8
  • Lemma 98.26.9
  • Lemma 98.26.10
  • Lemma 98.26.11
  • Lemma 98.26.12
  • Lemma 98.26.13
  • Lemma 98.26.14
  • Lemma 98.26.15
  • Lemma 98.26.16
  • Lemma 98.26.17
• Section 98.27: Gerbes
  • Definition 98.27.1
  • Lemma 98.27.2
  • Lemma 98.27.3
  • Lemma 98.27.4
  • Lemma 98.27.5
  • Lemma 98.27.6
  • Lemma 98.27.7
  • Lemma 98.27.8
  • Proposition 98.27.9
  • Lemma 98.27.10
  • Proposition 98.27.11
  • Lemma 98.27.12
  • Lemma 98.27.13
  • Lemma 98.27.14
  • Lemma 98.27.15
• Section 98.28: Stratification by gerbes
  • Proposition 98.28.1
  • Example 98.28.2
  • Lemma 98.28.3
  • Remark 98.28.4
• Section 98.29: The topological space of an algebraic stack
  • Lemma 98.29.1
  • Lemma 98.29.2
  • Lemma 98.29.3
• Section 98.30: Existence of residual gerbes
  • Lemma 98.30.1
  • Lemma 98.30.2
• Section 98.31: Étale local structure
  • Lemma 98.31.1
  • Lemma 98.31.2
  • Lemma 98.31.3
  • Lemma 98.31.4
  • Lemma 98.31.5
• Section 98.32: Smooth morphisms
  • Definition 98.32.1
  • Lemma 98.32.2
  • Lemma 98.32.3
  • Lemma 98.32.4
  • Lemma 98.32.5
  • Lemma 98.32.6
  • Lemma 98.32.7
  • Lemma 98.32.8
• Section 98.33: Types of morphisms étale-smooth local on source-and-target
  • Lemma 98.33.1
  • Definition 98.33.2
  • Remark 98.33.3
  • Remark 98.33.4
  • Remark 98.33.5
• Section 98.34: Étale morphisms
  • Definition 98.34.1
  • Lemma 98.34.2
  • Lemma 98.34.3
  • Lemma 98.34.4
  • Lemma 98.34.5
  • Lemma 98.34.6
• Section 98.35: Unramified morphisms
  • Definition 98.35.1
  • Lemma 98.35.2
  • Lemma 98.35.3
  • Lemma 98.35.4
  • Lemma 98.35.5
  • Lemma 98.35.6
  • Lemma 98.35.7
  • Lemma 98.35.8
  • Lemma 98.35.9
• Section 98.36: Proper morphisms
  • Definition 98.36.1
  • Lemma 98.36.2
  • Lemma 98.36.3
  • Lemma 98.36.4
  • Lemma 98.36.5
  • Lemma 98.36.6
• Section 98.37: Scheme theoretic image
  • Definition 98.37.1
  • Lemma 98.37.2
  • Lemma 98.37.3
  • Lemma 98.37.4
  • Lemma 98.37.5
  • Lemma 98.37.6
  • Lemma 98.37.7
• Section 98.38: Valuative criteria
  • Definition 98.38.1
    • Equation 98.38.1.1
  • Lemma 98.38.2
  • Lemma 98.38.3
  • Lemma 98.38.4
  • Lemma 98.38.5
  • Definition 98.38.6
  • Lemma 98.38.7
  • Lemma 98.38.8
  • Lemma 98.38.9
  • Definition 98.38.10
  • Lemma 98.38.11
  • Lemma 98.38.12
  • Lemma 98.38.13
  • Lemma 98.38.14
• Section 98.39: Valuative criterion for second diagonal
  • Lemma 98.39.1
• Section 98.40: Valuative criterion for the diagonal
  • Lemma 98.40.1
  • Lemma 98.40.2
  • Lemma 98.40.3
• Section 98.41: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 98.41.1
  • Lemma 98.41.2
• Section 98.42: Valuative criterion for properness
  • Lemma 98.42.1
• Section 98.43: Local complete intersection morphisms
  • Definition 98.43.1
  • Lemma 98.43.2
  • Lemma 98.43.3
  • Lemma 98.43.4
• Section 98.44: Stabilizer preserving morphisms
  • Lemma 98.44.1
  • Remark 98.44.2
  • Lemma 98.44.3
  • Lemma 98.44.4 reference
  • Lemma 98.44.5
  • Lemma 98.44.6
  • Lemma 98.44.7