37 More on Morphisms

• Section 37.1: Introduction
• Section 37.2: Thickenings
  • Definition 37.2.1
  • Lemma 37.2.2
  • Lemma 37.2.3 slogan
  • Lemma 37.2.4
  • Lemma 37.2.5 slogan
  • Lemma 37.2.6
• Section 37.3: Morphisms of thickenings
  • Lemma 37.3.1
  • Lemma 37.3.2
  • Lemma 37.3.3
  • Lemma 37.3.4
• Section 37.4: Picard groups of thickenings
  • Lemma 37.4.1
  • Lemma 37.4.2
• Section 37.5: First order infinitesimal neighbourhood
  • Definition 37.5.1
  • Lemma 37.5.2
  • Lemma 37.5.3
• Section 37.6: Formally unramified morphisms
  • Definition 37.6.1
  • Lemma 37.6.2
  • Lemma 37.6.3
  • Lemma 37.6.4
  • Lemma 37.6.5
  • Lemma 37.6.6
  • Lemma 37.6.7
  • Lemma 37.6.8 slogan
• Section 37.7: Universal first order thickenings
  • Lemma 37.7.1
  • Definition 37.7.2
  • Lemma 37.7.3
  • Lemma 37.7.4
  • Lemma 37.7.5
  • Lemma 37.7.6
  • Lemma 37.7.7
  • Lemma 37.7.8
  • Lemma 37.7.9
  • Lemma 37.7.10
  • Lemma 37.7.11
  • Lemma 37.7.12
• Section 37.8: Formally étale morphisms
  • Definition 37.8.1
  • Lemma 37.8.2
  • Lemma 37.8.3
  • Lemma 37.8.4
  • Lemma 37.8.5
  • Lemma 37.8.6
  • Lemma 37.8.7
  • Lemma 37.8.8
  • Lemma 37.8.9
• Section 37.9: Infinitesimal deformations of maps
  • Lemma 37.9.1
    • Equation 37.9.1.1
  • Lemma 37.9.2
  • Remark 37.9.3
  • Lemma 37.9.4
    • Equation 37.9.4.1
  • Lemma 37.9.5
  • Remark 37.9.6
  • Remark 37.9.7
  • Lemma 37.9.8
  • Lemma 37.9.9
  • Lemma 37.9.10
  • Remark 37.9.11
• Section 37.10: Infinitesimal deformations of schemes
  • Lemma 37.10.1
  • Lemma 37.10.2
  • Lemma 37.10.3
  • Lemma 37.10.4
  • Lemma 37.10.5
  • Lemma 37.10.6: Deformations of projective schemes
• Section 37.11: Formally smooth morphisms
  • Definition 37.11.1
  • Lemma 37.11.2
  • Lemma 37.11.3
  • Lemma 37.11.4
  • Lemma 37.11.5
  • Lemma 37.11.6
  • Lemma 37.11.7: Infinitesimal lifting criterion
  • Lemma 37.11.8
  • Lemma 37.11.9
  • Lemma 37.11.10
  • Lemma 37.11.11
  • Lemma 37.11.12
  • Lemma 37.11.13
• Section 37.12: Smoothness over a Noetherian base
  • Lemma 37.12.1
  • Lemma 37.12.2
  • Lemma 37.12.3
  • Lemma 37.12.4
• Section 37.13: The naive cotangent complex
  • Definition 37.13.1
  • Lemma 37.13.2
  • Lemma 37.13.3
  • Lemma 37.13.4
  • Lemma 37.13.5
  • Lemma 37.13.6
  • Lemma 37.13.7
  • Lemma 37.13.8
  • Lemma 37.13.9
  • Lemma 37.13.10
  • Lemma 37.13.11
  • Lemma 37.13.12
  • Lemma 37.13.13
  • Lemma 37.13.14
• Section 37.14: Pushouts in the category of schemes, I
  • Lemma 37.14.1
  • Lemma 37.14.2
  • Lemma 37.14.3
  • Lemma 37.14.4
  • Lemma 37.14.5
  • Lemma 37.14.6
• Section 37.15: Openness of the flat locus
  • Theorem 37.15.1 reference
  • Lemma 37.15.2
• Section 37.16: Critère de platitude par fibres
  • Theorem 37.16.1
  • Theorem 37.16.2
    • Equation 37.16.2.1
  • Lemma 37.16.3
  • Lemma 37.16.4
  • Lemma 37.16.5
  • Lemma 37.16.6
  • Lemma 37.16.7
  • Lemma 37.16.8
• Section 37.17: Normalization revisited
  • Lemma 37.17.1
  • Lemma 37.17.2: Normalization commutes with smooth base change
  • Lemma 37.17.3: Normalization and smooth morphisms
  • Lemma 37.17.4: Normalization and henselization
• Section 37.18: Normal morphisms
  • Definition 37.18.1
  • Lemma 37.18.2
  • Lemma 37.18.3
  • Lemma 37.18.4
  • Lemma 37.18.5
• Section 37.19: Regular morphisms
  • Definition 37.19.1
  • Lemma 37.19.2
  • Lemma 37.19.3
  • Lemma 37.19.4
• Section 37.20: Cohen-Macaulay morphisms
  • Definition 37.20.1
  • Lemma 37.20.2
  • Lemma 37.20.3
  • Lemma 37.20.4
  • Lemma 37.20.5
  • Lemma 37.20.6
  • Lemma 37.20.7 reference
  • Lemma 37.20.8
  • Lemma 37.20.9
  • Lemma 37.20.10
  • Lemma 37.20.11
• Section 37.21: Slicing Cohen-Macaulay morphisms
  • Lemma 37.21.1
  • Lemma 37.21.2
  • Lemma 37.21.3
  • Lemma 37.21.4 reference
  • Lemma 37.21.5
  • Lemma 37.21.6
• Section 37.22: Generic fibres
  • Lemma 37.22.1
  • Lemma 37.22.2
  • Lemma 37.22.3
  • Lemma 37.22.4
  • Lemma 37.22.5
  • Lemma 37.22.6
  • Lemma 37.22.7
  • Lemma 37.22.8
• Section 37.23: Relative assassins
  • Lemma 37.23.1
  • Lemma 37.23.2
  • Lemma 37.23.3
  • Lemma 37.23.4
  • Lemma 37.23.5
• Section 37.24: Reduced fibres
  • Lemma 37.24.1
  • Lemma 37.24.2
  • Lemma 37.24.3
  • Lemma 37.24.4
  • Lemma 37.24.5
  • Lemma 37.24.6
  • Lemma 37.24.7
• Section 37.25: Irreducible components of fibres
  • Lemma 37.25.1
  • Lemma 37.25.2
  • Lemma 37.25.3
  • Lemma 37.25.4
    • Equation 37.25.4.1
  • Lemma 37.25.5
  • Lemma 37.25.6
  • Lemma 37.25.7
• Section 37.26: Connected components of fibres
  • Lemma 37.26.1
  • Lemma 37.26.2
  • Lemma 37.26.3
  • Lemma 37.26.4
  • Lemma 37.26.5
  • Lemma 37.26.6
  • Lemma 37.26.7 slogan
• Section 37.27: Connected components meeting a section
  • Situation 37.27.1
  • Lemma 37.27.2
  • Lemma 37.27.3
  • Lemma 37.27.4
  • Lemma 37.27.5
  • Lemma 37.27.6
• Section 37.28: Dimension of fibres
  • Lemma 37.28.1
  • Lemma 37.28.2
  • Lemma 37.28.3
  • Lemma 37.28.4
  • Lemma 37.28.5
  • Lemma 37.28.6
• Section 37.29: Theorem of the cube
  • Lemma 37.29.1
  • Lemma 37.29.2
  • Lemma 37.29.3
  • Lemma 37.29.4
  • Lemma 37.29.5
  • Lemma 37.29.6
  • Lemma 37.29.7
  • Theorem 37.29.8: Theorem of the cube
• Section 37.30: Limit arguments
  • Lemma 37.30.1
  • Lemma 37.30.2
  • Lemma 37.30.3
  • Lemma 37.30.4
  • Lemma 37.30.5
  • Lemma 37.30.6
  • Lemma 37.30.7
  • Lemma 37.30.8
  • Lemma 37.30.9
  • Lemma 37.30.10
  • Lemma 37.30.11
• Section 37.31: Étale neighbourhoods
  • Definition 37.31.1
  • Lemma 37.31.2
  • Lemma 37.31.3
  • Lemma 37.31.4
  • Lemma 37.31.5
  • Lemma 37.31.6 slogan
• Section 37.32: Étale neighbourhoods and Artin approximation
  • Lemma 37.32.1
  • Lemma 37.32.2
  • Lemma 37.32.3
  • Lemma 37.32.4
  • Lemma 37.32.5
    • Equation 37.32.5.1
    • Equation 37.32.5.2
  • Lemma 37.32.6
• Section 37.33: Étale neighbourhoods and branches
  • Lemma 37.33.1
  • Lemma 37.33.2
  • Lemma 37.33.3
  • Lemma 37.33.4
• Section 37.34: Slicing smooth morphisms
  • Lemma 37.34.1
  • Lemma 37.34.2
  • Remark 37.34.3
  • Lemma 37.34.4
  • Lemma 37.34.5
  • Lemma 37.34.6
  • Lemma 37.34.7
  • Lemma 37.34.8
  • Lemma 37.34.9
• Section 37.35: Finite free locally dominates étale
  • Lemma 37.35.1
  • Lemma 37.35.2
  • Remark 37.35.3
• Section 37.36: Étale localization of quasi-finite morphisms
  • Equation 37.36.0.1
  • Lemma 37.36.1
  • Lemma 37.36.2
  • Lemma 37.36.3
  • Lemma 37.36.4
  • Lemma 37.36.5
  • Lemma 37.36.6
• Section 37.37: Étale localization of integral morphisms
  • Lemma 37.37.1
• Section 37.38: Zariski's Main Theorem
  • Lemma 37.38.1
  • Lemma 37.38.2
  • Lemma 37.38.3: Zariski's Main Theorem reference
  • Lemma 37.38.4
• Section 37.39: Applications of Zariski's Main Theorem, I
  • Lemma 37.39.1
  • Lemma 37.39.2
  • Lemma 37.39.3
• Section 37.40: Applications of Zariski's Main Theorem, II
  • Lemma 37.40.1
  • Lemma 37.40.2
  • Lemma 37.40.3
  • Lemma 37.40.4
  • Lemma 37.40.5
  • Lemma 37.40.6
  • Lemma 37.40.7
• Section 37.41: Application to morphisms with connected fibres
  • Lemma 37.41.1
  • Lemma 37.41.2
  • Lemma 37.41.3
  • Lemma 37.41.4
• Section 37.42: Application to the structure of finite type morphisms
  • Lemma 37.42.1
  • Lemma 37.42.2 slogan
  • Lemma 37.42.3
  • Lemma 37.42.4
• Section 37.43: Application to the fppf topology
  • Lemma 37.43.1
  • Lemma 37.43.2
  • Lemma 37.43.3
  • Lemma 37.43.4
  • Lemma 37.43.5
  • Lemma 37.43.6
  • Lemma 37.43.7
  • Remark 37.43.8
• Section 37.44: Quasi-projective schemes
  • Lemma 37.44.1
  • Lemma 37.44.2
  • Lemma 37.44.3
• Section 37.45: Projective schemes
  • Lemma 37.45.1
  • Lemma 37.45.2
  • Lemma 37.45.3 reference
• Section 37.46: Proj and Spec
  • Equation 37.46.0.1
  • Equation 37.46.0.2
  • Lemma 37.46.1
• Section 37.47: Closed points in fibres
  • Lemma 37.47.1
  • Lemma 37.47.2
  • Lemma 37.47.3
  • Lemma 37.47.4
  • Remark 37.47.5
  • Lemma 37.47.6
  • Lemma 37.47.7
  • Remark 37.47.8
  • Lemma 37.47.9
• Section 37.48: Stein factorization
  • Lemma 37.48.1
  • Lemma 37.48.2
  • Lemma 37.48.3
  • Theorem 37.48.4: Stein factorization; Noetherian case
  • Theorem 37.48.5: Stein factorization; general case
  • Lemma 37.48.6
  • Lemma 37.48.7
  • Lemma 37.48.8
  • Lemma 37.48.9 reference
• Section 37.49: Descending separated locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 37.49.1
• Section 37.50: Relative finite presentation
  • Definition 37.50.1
  • Lemma 37.50.2
  • Lemma 37.50.3
  • Lemma 37.50.4
  • Lemma 37.50.5
  • Lemma 37.50.6
  • Lemma 37.50.7
  • Lemma 37.50.8
  • Lemma 37.50.9 slogan
• Section 37.51: Relative pseudo-coherence
  • Lemma 37.51.1
  • Definition 37.51.2
  • Lemma 37.51.3
  • Lemma 37.51.4
  • Lemma 37.51.5
  • Lemma 37.51.6
  • Lemma 37.51.7
  • Lemma 37.51.8
  • Lemma 37.51.9
  • Lemma 37.51.10
  • Lemma 37.51.11
  • Lemma 37.51.12
  • Lemma 37.51.13
  • Lemma 37.51.14
  • Lemma 37.51.15
  • Lemma 37.51.16
  • Lemma 37.51.17
  • Lemma 37.51.18
• Section 37.52: Pseudo-coherent morphisms
  • Lemma 37.52.1
  • Definition 37.52.2
  • Lemma 37.52.3
  • Lemma 37.52.4
  • Lemma 37.52.5
  • Lemma 37.52.6
  • Lemma 37.52.7
  • Lemma 37.52.8
  • Lemma 37.52.9
  • Lemma 37.52.10
  • Lemma 37.52.11
  • Lemma 37.52.12
  • Lemma 37.52.13
• Section 37.53: Perfect morphisms
  • Lemma 37.53.1
  • Definition 37.53.2
  • Lemma 37.53.3
  • Lemma 37.53.4
  • Lemma 37.53.5
  • Lemma 37.53.6
  • Lemma 37.53.7
  • Lemma 37.53.8
  • Remark 37.53.9
  • Lemma 37.53.10
  • Lemma 37.53.11
  • Lemma 37.53.12
  • Lemma 37.53.13
  • Lemma 37.53.14
• Section 37.54: Local complete intersection morphisms
  • Lemma 37.54.1
  • Definition 37.54.2
  • Lemma 37.54.3
  • Lemma 37.54.4
  • Lemma 37.54.5
  • Lemma 37.54.6
  • Lemma 37.54.7
  • Lemma 37.54.8 slogan
  • Lemma 37.54.9
  • Lemma 37.54.10
  • Lemma 37.54.11
  • Lemma 37.54.12
  • Lemma 37.54.13
  • Lemma 37.54.14
  • Lemma 37.54.15
  • Lemma 37.54.16
  • Lemma 37.54.17
  • Lemma 37.54.18
  • Lemma 37.54.19
  • Lemma 37.54.20
  • Lemma 37.54.21
  • Lemma 37.54.22
  • Lemma 37.54.23
• Section 37.55: Exact sequences of differentials and conormal sheaves
• Section 37.56: Weakly étale morphisms
  • Definition 37.56.1
  • Lemma 37.56.2
  • Lemma 37.56.3
  • Lemma 37.56.4
  • Lemma 37.56.5
  • Lemma 37.56.6
  • Lemma 37.56.7
  • Lemma 37.56.8
  • Lemma 37.56.9
  • Lemma 37.56.10
  • Lemma 37.56.11
  • Lemma 37.56.12
  • Lemma 37.56.13
  • Lemma 37.56.14
  • Lemma 37.56.15
• Section 37.57: Reduced fibre theorem
  • Equation 37.57.0.1
  • Theorem 37.57.1
  • Lemma 37.57.2: Variant over curves
  • Lemma 37.57.3: Variant with separable extension
  • Lemma 37.57.4: Variant with separable extensions over curves
• Section 37.58: Ind-quasi-affine morphisms
  • Definition 37.58.1
  • Lemma 37.58.2
  • Lemma 37.58.3
  • Lemma 37.58.4
  • Lemma 37.58.5
  • Lemma 37.58.6
  • Lemma 37.58.7
  • Lemma 37.58.8
• Section 37.59: Pushouts in the category of schemes, II
  • Situation 37.59.1
  • Lemma 37.59.2
  • Proposition 37.59.3 reference
  • Lemma 37.59.4
  • Lemma 37.59.5
  • Lemma 37.59.6
  • Lemma 37.59.7
  • Lemma 37.59.8
  • Lemma 37.59.9
• Section 37.60: Relative morphisms
  • Equation 37.60.0.1
  • Equation 37.60.0.2
  • Lemma 37.60.1
  • Lemma 37.60.2
  • Lemma 37.60.3
  • Lemma 37.60.4
• Section 37.61: Characterizing pseudo-coherent complexes, III
  • Lemma 37.61.1
  • Lemma 37.61.2: Derived Chow's lemma
  • Lemma 37.61.3
  • Lemma 37.61.4
• Section 37.62: Descent finiteness properties of complexes
  • Lemma 37.62.1
  • Lemma 37.62.2
  • Lemma 37.62.3
• Section 37.63: Relatively perfect objects
  • Lemma 37.63.1
  • Lemma 37.63.2
  • Lemma 37.63.3
• Section 37.64: Contracting rational curves
  • Lemma 37.64.1
  • Lemma 37.64.2
  • Lemma 37.64.3
  • Lemma 37.64.4
  • Lemma 37.64.5
  • Lemma 37.64.6
  • Lemma 37.64.7
  • Lemma 37.64.8
• Section 37.65: Affine stratifications
  • Definition 37.65.1
  • Lemma 37.65.2
  • Lemma 37.65.3
  • Definition 37.65.4
  • Lemma 37.65.5
  • Lemma 37.65.6
  • Proposition 37.65.7
  • Example 37.65.8
• Section 37.66: Universally open morphisms
  • Lemma 37.66.1
  • Lemma 37.66.2
  • Lemma 37.66.3
  • Lemma 37.66.4
  • Lemma 37.66.5
  • Lemma 37.66.6
  • Lemma 37.66.7
• Section 37.67: Weightings
  • Lemma 37.67.1
  • Definition 37.67.2
  • Lemma 37.67.3
  • Lemma 37.67.4
  • Lemma 37.67.5
  • Lemma 37.67.6
• Section 37.68: More on weightings
  • Lemma 37.68.1
  • Lemma 37.68.2
  • Lemma 37.68.3
  • Lemma 37.68.4
  • Lemma 37.68.5
  • Lemma 37.68.6
  • Lemma 37.68.7
  • Lemma 37.68.8
  • Lemma 37.68.9
• Section 37.69: Weightings and affine stratification numbers
  • Lemma 37.69.1
  • Proposition 37.69.2