36 More on Morphisms

Section 36.1: Introduction
Section 36.2: Thickenings
- Definition 36.2.1
- Lemma 36.2.2
- Lemma 36.2.3 slogan
- Lemma 36.2.4
- Lemma 36.2.5 slogan
- Lemma 36.2.6
Section 36.3: Morphisms of thickenings
- Lemma 36.3.1
- Lemma 36.3.2
- Lemma 36.3.3
- Lemma 36.3.4
Section 36.4: Picard groups of thickenings
- Lemma 36.4.1
- Lemma 36.4.2
Section 36.5: First order infinitesimal neighbourhood
- Definition 36.5.1
- Lemma 36.5.2
- Lemma 36.5.3
Section 36.6: Formally unramified morphisms
- Definition 36.6.1
- Lemma 36.6.2
- Lemma 36.6.3
- Lemma 36.6.4
- Lemma 36.6.5
- Lemma 36.6.6
- Lemma 36.6.7
- Lemma 36.6.8 slogan
Section 36.7: Universal first order thickenings
- Lemma 36.7.1
- Definition 36.7.2
- Lemma 36.7.3
- Lemma 36.7.4
- Lemma 36.7.5
- Lemma 36.7.6
- Lemma 36.7.7
- Lemma 36.7.8
- Lemma 36.7.9
- Lemma 36.7.10
- Lemma 36.7.11
- Lemma 36.7.12
Section 36.8: Formally étale morphisms
- Definition 36.8.1
- Lemma 36.8.2
- Lemma 36.8.3
- Lemma 36.8.4
- Lemma 36.8.5
- Lemma 36.8.6
- Lemma 36.8.7
- Lemma 36.8.8
- Lemma 36.8.9
Section 36.9: Infinitesimal deformations of maps
- Lemma 36.9.1
  - Equation 36.9.1.1
- Lemma 36.9.2
- Remark 36.9.3
- Lemma 36.9.4
  - Equation 36.9.4.1
- Lemma 36.9.5
- Remark 36.9.6
- Remark 36.9.7
- Lemma 36.9.8
- Lemma 36.9.9
- Lemma 36.9.10
- Remark 36.9.11
Section 36.10: Infinitesimal deformations of schemes
- Lemma 36.10.1
- Lemma 36.10.2
- Lemma 36.10.3
- Lemma 36.10.4
- Lemma 36.10.5
- Lemma 36.10.6: Deformations of projective schemes
Section 36.11: Formally smooth morphisms
- Definition 36.11.1
- Lemma 36.11.2
- Lemma 36.11.3
- Lemma 36.11.4
- Lemma 36.11.5
- Lemma 36.11.6
- Lemma 36.11.7: Infinitesimal lifting criterion
- Lemma 36.11.8
- Lemma 36.11.9
- Lemma 36.11.10
- Lemma 36.11.11
- Lemma 36.11.12
- Lemma 36.11.13
Section 36.12: Smoothness over a Noetherian base
- Lemma 36.12.1
- Lemma 36.12.2
- Lemma 36.12.3
- Lemma 36.12.4
Section 36.13: The naive cotangent complex
- Definition 36.13.1
- Lemma 36.13.2
- Lemma 36.13.3
- Lemma 36.13.4
- Lemma 36.13.5
- Lemma 36.13.6
- Lemma 36.13.7
- Lemma 36.13.8
Section 36.14: Pushouts in the category of schemes, I
- Lemma 36.14.1
- Lemma 36.14.2
- Lemma 36.14.3
- Lemma 36.14.4
- Lemma 36.14.5
- Lemma 36.14.6
Section 36.15: Openness of the flat locus
- Theorem 36.15.1 reference
- Lemma 36.15.2
Section 36.16: Critère de platitude par fibres
- Theorem 36.16.1
- Theorem 36.16.2
  - Equation 36.16.2.1
- Lemma 36.16.3
- Lemma 36.16.4
- Lemma 36.16.5
- Lemma 36.16.6
- Lemma 36.16.7
- Lemma 36.16.8
Section 36.17: Normalization revisited
- Lemma 36.17.1
- Lemma 36.17.2: Normalization commutes with smooth base change
- Lemma 36.17.3: Normalization and smooth morphisms
- Lemma 36.17.4: Normalization and henselization
Section 36.18: Normal morphisms
- Definition 36.18.1
- Lemma 36.18.2
- Lemma 36.18.3
- Lemma 36.18.4
- Lemma 36.18.5
Section 36.19: Regular morphisms
- Definition 36.19.1
- Lemma 36.19.2
- Lemma 36.19.3
- Lemma 36.19.4
Section 36.20: Cohen-Macaulay morphisms
- Definition 36.20.1
- Lemma 36.20.2
- Lemma 36.20.3
- Lemma 36.20.4
- Lemma 36.20.5
- Lemma 36.20.6
- Lemma 36.20.7 reference
- Lemma 36.20.8
- Lemma 36.20.9
- Lemma 36.20.10
- Lemma 36.20.11
Section 36.21: Slicing Cohen-Macaulay morphisms
- Lemma 36.21.1
- Lemma 36.21.2
- Lemma 36.21.3
- Lemma 36.21.4 reference
- Lemma 36.21.5
- Lemma 36.21.6
Section 36.22: Generic fibres
- Lemma 36.22.1
- Lemma 36.22.2
- Lemma 36.22.3
- Lemma 36.22.4
- Lemma 36.22.5
- Lemma 36.22.6
- Lemma 36.22.7
- Lemma 36.22.8
Section 36.23: Relative assassins
- Lemma 36.23.1
- Lemma 36.23.2
- Lemma 36.23.3
- Lemma 36.23.4
- Lemma 36.23.5
Section 36.24: Reduced fibres
- Lemma 36.24.1
- Lemma 36.24.2
- Lemma 36.24.3
- Lemma 36.24.4
- Lemma 36.24.5
- Lemma 36.24.6
- Lemma 36.24.7
Section 36.25: Irreducible components of fibres
- Lemma 36.25.1
- Lemma 36.25.2
- Lemma 36.25.3
- Lemma 36.25.4
  - Equation 36.25.4.1
- Lemma 36.25.5
- Lemma 36.25.6
- Lemma 36.25.7
Section 36.26: Connected components of fibres
- Lemma 36.26.1
- Lemma 36.26.2
- Lemma 36.26.3
- Lemma 36.26.4
- Lemma 36.26.5
- Lemma 36.26.6
- Lemma 36.26.7 slogan
Section 36.27: Connected components meeting a section
- Situation 36.27.1
- Lemma 36.27.2
- Lemma 36.27.3
- Lemma 36.27.4
- Lemma 36.27.5
- Lemma 36.27.6
Section 36.28: Dimension of fibres
- Lemma 36.28.1
- Lemma 36.28.2
- Lemma 36.28.3
- Lemma 36.28.4
- Lemma 36.28.5
- Lemma 36.28.6
Section 36.29: Theorem of the cube
- Lemma 36.29.1
- Lemma 36.29.2
- Lemma 36.29.3
- Lemma 36.29.4
- Lemma 36.29.5
- Lemma 36.29.6
- Lemma 36.29.7
- Theorem 36.29.8: Theorem of the cube
Section 36.30: Limit arguments
- Lemma 36.30.1
- Lemma 36.30.2
- Lemma 36.30.3
- Lemma 36.30.4
- Lemma 36.30.5
- Lemma 36.30.6
- Lemma 36.30.7
- Lemma 36.30.8
- Lemma 36.30.9
- Lemma 36.30.10
- Lemma 36.30.11
Section 36.31: Étale neighbourhoods
- Definition 36.31.1
- Lemma 36.31.2
- Lemma 36.31.3
- Lemma 36.31.4
- Lemma 36.31.5
- Lemma 36.31.6 slogan
Section 36.32: Étale neighbourhoods and Artin approximation
- Lemma 36.32.1
- Lemma 36.32.2
- Lemma 36.32.3
- Lemma 36.32.4
- Lemma 36.32.5
  - Equation 36.32.5.1
  - Equation 36.32.5.2
- Lemma 36.32.6
Section 36.33: Étale neighbourhoods and branches
- Lemma 36.33.1
- Lemma 36.33.2
- Lemma 36.33.3
- Lemma 36.33.4
Section 36.34: Slicing smooth morphisms
- Lemma 36.34.1
- Lemma 36.34.2
- Remark 36.34.3
- Lemma 36.34.4
- Lemma 36.34.5
- Lemma 36.34.6
- Lemma 36.34.7
- Lemma 36.34.8
Section 36.35: Finite free locally dominates étale
- Lemma 36.35.1
- Lemma 36.35.2
- Remark 36.35.3
Section 36.36: Étale localization of quasi-finite morphisms
- Equation 36.36.0.1
- Lemma 36.36.1
- Lemma 36.36.2
- Lemma 36.36.3
- Lemma 36.36.4
- Lemma 36.36.5
- Lemma 36.36.6
Section 36.37: Étale localization of integral morphisms
- Lemma 36.37.1
Section 36.38: Zariski's Main Theorem
- Lemma 36.38.1
- Lemma 36.38.2
- Lemma 36.38.3: Zariski's Main Theorem reference
- Lemma 36.38.4
Section 36.39: Applications of Zariski's Main Theorem, I
- Lemma 36.39.1
- Lemma 36.39.2
- Lemma 36.39.3
Section 36.40: Applications of Zariski's Main Theorem, II
- Lemma 36.40.1
- Lemma 36.40.2
- Lemma 36.40.3
- Lemma 36.40.4
- Lemma 36.40.5
- Lemma 36.40.6
- Lemma 36.40.7
Section 36.41: Application to morphisms with connected fibres
- Lemma 36.41.1
- Lemma 36.41.2
- Lemma 36.41.3
- Lemma 36.41.4
Section 36.42: Application to the structure of finite type morphisms
- Lemma 36.42.1
- Lemma 36.42.2 slogan
- Lemma 36.42.3
- Lemma 36.42.4
Section 36.43: Application to the fppf topology
- Lemma 36.43.1
- Lemma 36.43.2
- Lemma 36.43.3
- Lemma 36.43.4
- Lemma 36.43.5
- Lemma 36.43.6
- Lemma 36.43.7
- Remark 36.43.8
Section 36.44: Quasi-projective schemes
- Lemma 36.44.1
- Lemma 36.44.2
- Lemma 36.44.3
Section 36.45: Projective schemes
- Lemma 36.45.1
- Lemma 36.45.2
- Lemma 36.45.3 reference
Section 36.46: Proj and Spec
- Equation 36.46.0.1
- Equation 36.46.0.2
- Lemma 36.46.1
Section 36.47: Closed points in fibres
- Lemma 36.47.1
- Lemma 36.47.2
- Lemma 36.47.3
- Lemma 36.47.4
- Remark 36.47.5
- Lemma 36.47.6
- Lemma 36.47.7
- Remark 36.47.8
- Lemma 36.47.9
Section 36.48: Stein factorization
- Lemma 36.48.1
- Lemma 36.48.2
- Lemma 36.48.3
- Theorem 36.48.4: Stein factorization; Noetherian case
- Theorem 36.48.5: Stein factorization; general case
- Lemma 36.48.6
- Lemma 36.48.7
- Lemma 36.48.8
- Lemma 36.48.9 reference
Section 36.49: Descending separated locally quasi-finite morphisms
- Lemma 36.49.1
Section 36.50: Relative finite presentation
- Definition 36.50.1
- Lemma 36.50.2
- Lemma 36.50.3
- Lemma 36.50.4
- Lemma 36.50.5
- Lemma 36.50.6
- Lemma 36.50.7
- Lemma 36.50.8
- Lemma 36.50.9 slogan
Section 36.51: Relative pseudo-coherence
- Lemma 36.51.1
- Definition 36.51.2
- Lemma 36.51.3
- Lemma 36.51.4
- Lemma 36.51.5
- Lemma 36.51.6
- Lemma 36.51.7
- Lemma 36.51.8
- Lemma 36.51.9
- Lemma 36.51.10
- Lemma 36.51.11
- Lemma 36.51.12
- Lemma 36.51.13
- Lemma 36.51.14
- Lemma 36.51.15
- Lemma 36.51.16
- Lemma 36.51.17
- Lemma 36.51.18
Section 36.52: Pseudo-coherent morphisms
- Lemma 36.52.1
- Definition 36.52.2
- Lemma 36.52.3
- Lemma 36.52.4
- Lemma 36.52.5
- Lemma 36.52.6
- Lemma 36.52.7
- Lemma 36.52.8
- Lemma 36.52.9
- Lemma 36.52.10
- Lemma 36.52.11
- Lemma 36.52.12
- Lemma 36.52.13
Section 36.53: Perfect morphisms
- Lemma 36.53.1
- Definition 36.53.2
- Lemma 36.53.3
- Lemma 36.53.4
- Lemma 36.53.5
- Lemma 36.53.6
- Lemma 36.53.7
- Lemma 36.53.8
- Remark 36.53.9
- Lemma 36.53.10
- Lemma 36.53.11
- Lemma 36.53.12
- Lemma 36.53.13
- Lemma 36.53.14
Section 36.54: Local complete intersection morphisms
- Lemma 36.54.1
- Definition 36.54.2
- Lemma 36.54.3
- Lemma 36.54.4
- Lemma 36.54.5
- Lemma 36.54.6
- Lemma 36.54.7
- Lemma 36.54.8 slogan
- Lemma 36.54.9
- Lemma 36.54.10
- Lemma 36.54.11
- Lemma 36.54.12
- Lemma 36.54.13
- Lemma 36.54.14
- Lemma 36.54.15
- Lemma 36.54.16
- Lemma 36.54.17
Section 36.55: Exact sequences of differentials and conormal sheaves
Section 36.56: Weakly étale morphisms
- Definition 36.56.1
- Lemma 36.56.2
- Lemma 36.56.3
- Lemma 36.56.4
- Lemma 36.56.5
- Lemma 36.56.6
- Lemma 36.56.7
- Lemma 36.56.8
- Lemma 36.56.9
- Lemma 36.56.10
- Lemma 36.56.11
- Lemma 36.56.12
- Lemma 36.56.13
- Lemma 36.56.14
- Lemma 36.56.15
Section 36.57: Reduced fibre theorem
- Equation 36.57.0.1
- Theorem 36.57.1
- Lemma 36.57.2: Variant over curves
- Lemma 36.57.3: Variant with separable extension
- Lemma 36.57.4: Variant with separable extensions over curves
Section 36.58: Ind-quasi-affine morphisms
- Definition 36.58.1
- Lemma 36.58.2
- Lemma 36.58.3
- Lemma 36.58.4
- Lemma 36.58.5
- Lemma 36.58.6
- Lemma 36.58.7
- Lemma 36.58.8
Section 36.59: Pushouts in the category of schemes, II
- Situation 36.59.1
- Lemma 36.59.2
- Proposition 36.59.3 reference
- Lemma 36.59.4
- Lemma 36.59.5
- Lemma 36.59.6
- Lemma 36.59.7
- Lemma 36.59.8
- Lemma 36.59.9
Section 36.60: Relative morphisms
- Equation 36.60.0.1
- Equation 36.60.0.2
- Lemma 36.60.1
- Lemma 36.60.2
- Lemma 36.60.3
- Lemma 36.60.4
Section 36.61: Characterizing pseudo-coherent complexes, III
- Lemma 36.61.1
- Lemma 36.61.2: Derived Chow's lemma
- Lemma 36.61.3
- Lemma 36.61.4
Section 36.62: Descent finiteness properties of complexes
- Lemma 36.62.1
- Lemma 36.62.2
- Lemma 36.62.3
Section 36.63: Relatively perfect objects
- Lemma 36.63.1
- Lemma 36.63.2
- Lemma 36.63.3
Section 36.64: Contracting rational curves
- Lemma 36.64.1
- Lemma 36.64.2
- Lemma 36.64.3
- Lemma 36.64.4
- Lemma 36.64.5
- Lemma 36.64.6
- Lemma 36.64.7
- Lemma 36.64.8
Section 36.65: Affine stratifications
- Definition 36.65.1
- Lemma 36.65.2
- Lemma 36.65.3
- Definition 36.65.4
- Lemma 36.65.5
- Lemma 36.65.6
- Proposition 36.65.7
- Example 36.65.8
Section 36.66: Universally open morphisms
- Lemma 36.66.1
- Lemma 36.66.2
- Lemma 36.66.3
- Lemma 36.66.4
- Lemma 36.66.5
- Lemma 36.66.6
- Lemma 36.66.7
Section 36.67: Weightings
- Lemma 36.67.1
- Definition 36.67.2
- Lemma 36.67.3
- Lemma 36.67.4
- Lemma 36.67.5
- Lemma 36.67.6
Section 36.68: More on weightings
- Lemma 36.68.1
- Lemma 36.68.2
- Lemma 36.68.3
- Lemma 36.68.4
- Lemma 36.68.5
- Lemma 36.68.6
- Lemma 36.68.7
- Lemma 36.68.8
- Lemma 36.68.9
Section 36.69: Weightings and affine stratification numbers
- Lemma 36.69.1
- Proposition 36.69.2