36 More on Morphisms

• Section 36.1: Introduction
• Section 36.2: Thickenings
  • Definition 36.2.1
  • Lemma 36.2.2
  • Lemma 36.2.3
  • Lemma 36.2.4
  • Lemma 36.2.5
  • Lemma 36.2.6
• Section 36.3: Morphisms of thickenings
  • Lemma 36.3.1
  • Lemma 36.3.2
  • Lemma 36.3.3
  • Lemma 36.3.4
• Section 36.4: Picard groups of thickenings
  • Lemma 36.4.1
  • Lemma 36.4.2
• Section 36.5: First order infinitesimal neighbourhood
  • Definition 36.5.1
  • Lemma 36.5.2
  • Lemma 36.5.3
• Section 36.6: Formally unramified morphisms
  • Definition 36.6.1
  • Lemma 36.6.2
  • Lemma 36.6.3
  • Lemma 36.6.4
  • Lemma 36.6.5
  • Lemma 36.6.6
  • Lemma 36.6.7
  • Lemma 36.6.8 slogan
• Section 36.7: Universal first order thickenings
  • Lemma 36.7.1
  • Definition 36.7.2
  • Lemma 36.7.3
  • Lemma 36.7.4
  • Lemma 36.7.5
  • Lemma 36.7.6
  • Lemma 36.7.7
  • Lemma 36.7.8
  • Lemma 36.7.9
  • Lemma 36.7.10
  • Lemma 36.7.11
  • Lemma 36.7.12
• Section 36.8: Formally étale morphisms
  • Definition 36.8.1
  • Lemma 36.8.2
  • Lemma 36.8.3
  • Lemma 36.8.4
  • Lemma 36.8.5
  • Lemma 36.8.6
  • Lemma 36.8.7
  • Lemma 36.8.8
  • Lemma 36.8.9
• Section 36.9: Infinitesimal deformations of maps
  • Lemma 36.9.1
    • Equation 36.9.1.1
  • Lemma 36.9.2
  • Remark 36.9.3
  • Lemma 36.9.4
    • Equation 36.9.4.1
  • Lemma 36.9.5
  • Remark 36.9.6
  • Remark 36.9.7
  • Lemma 36.9.8
  • Lemma 36.9.9
  • Lemma 36.9.10
  • Remark 36.9.11
• Section 36.10: Infinitesimal deformations of schemes
  • Lemma 36.10.1
  • Lemma 36.10.2
  • Lemma 36.10.3
  • Lemma 36.10.4
  • Lemma 36.10.5
  • Lemma 36.10.6: Deformations of projective schemes
• Section 36.11: Formally smooth morphisms
  • Definition 36.11.1
  • Lemma 36.11.2
  • Lemma 36.11.3
  • Lemma 36.11.4
  • Lemma 36.11.5
  • Lemma 36.11.6
  • Lemma 36.11.7: Infinitesimal lifting criterion
  • Lemma 36.11.8
  • Lemma 36.11.9
  • Lemma 36.11.10
  • Lemma 36.11.11
  • Lemma 36.11.12
  • Lemma 36.11.13
• Section 36.12: Smoothness over a Noetherian base
  • Lemma 36.12.1
  • Lemma 36.12.2
  • Lemma 36.12.3
  • Lemma 36.12.4
• Section 36.13: The naive cotangent complex
  • Definition 36.13.1
  • Lemma 36.13.2
  • Lemma 36.13.3
  • Lemma 36.13.4
  • Lemma 36.13.5
  • Lemma 36.13.6
  • Lemma 36.13.7
  • Lemma 36.13.8
• Section 36.14: Pushouts in the category of schemes, I
  • Lemma 36.14.1
  • Lemma 36.14.2
  • Lemma 36.14.3
  • Lemma 36.14.4
  • Lemma 36.14.5
  • Lemma 36.14.6
• Section 36.15: Openness of the flat locus
  • Theorem 36.15.1 reference
  • Lemma 36.15.2
• Section 36.16: Critère de platitude par fibres
  • Theorem 36.16.1
  • Theorem 36.16.2
    • Equation 36.16.2.1
  • Lemma 36.16.3
  • Lemma 36.16.4
  • Lemma 36.16.5
  • Lemma 36.16.6
  • Lemma 36.16.7
  • Lemma 36.16.8
• Section 36.17: Normalization revisited
  • Lemma 36.17.1
  • Lemma 36.17.2: Normalization commutes with smooth base change
  • Lemma 36.17.3: Normalization and smooth morphisms
  • Lemma 36.17.4: Normalization and henselization
• Section 36.18: Normal morphisms
  • Definition 36.18.1
  • Lemma 36.18.2
  • Lemma 36.18.3
  • Lemma 36.18.4
  • Lemma 36.18.5
• Section 36.19: Regular morphisms
  • Definition 36.19.1
  • Lemma 36.19.2
  • Lemma 36.19.3
  • Lemma 36.19.4
• Section 36.20: Cohen-Macaulay morphisms
  • Definition 36.20.1
  • Lemma 36.20.2
  • Lemma 36.20.3
  • Lemma 36.20.4
  • Lemma 36.20.5
  • Lemma 36.20.6
  • Lemma 36.20.7 reference
  • Lemma 36.20.8
  • Lemma 36.20.9
  • Lemma 36.20.10
  • Lemma 36.20.11
• Section 36.21: Slicing Cohen-Macaulay morphisms
  • Lemma 36.21.1
  • Lemma 36.21.2
  • Lemma 36.21.3
  • Lemma 36.21.4 reference
  • Lemma 36.21.5
  • Lemma 36.21.6
• Section 36.22: Generic fibres
  • Lemma 36.22.1
  • Lemma 36.22.2
  • Lemma 36.22.3
  • Lemma 36.22.4
  • Lemma 36.22.5
  • Lemma 36.22.6
  • Lemma 36.22.7
  • Lemma 36.22.8
• Section 36.23: Relative assassins
  • Lemma 36.23.1
  • Lemma 36.23.2
  • Lemma 36.23.3
  • Lemma 36.23.4
  • Lemma 36.23.5
• Section 36.24: Reduced fibres
  • Lemma 36.24.1
  • Lemma 36.24.2
  • Lemma 36.24.3
  • Lemma 36.24.4
  • Lemma 36.24.5
  • Lemma 36.24.6
  • Lemma 36.24.7
• Section 36.25: Irreducible components of fibres
  • Lemma 36.25.1
  • Lemma 36.25.2
  • Lemma 36.25.3
  • Lemma 36.25.4
    • Equation 36.25.4.1
  • Lemma 36.25.5
  • Lemma 36.25.6
  • Lemma 36.25.7
• Section 36.26: Connected components of fibres
  • Lemma 36.26.1
  • Lemma 36.26.2
  • Lemma 36.26.3
  • Lemma 36.26.4
  • Lemma 36.26.5
  • Lemma 36.26.6
  • Lemma 36.26.7 slogan
• Section 36.27: Connected components meeting a section
  • Situation 36.27.1
  • Lemma 36.27.2
  • Lemma 36.27.3
  • Lemma 36.27.4
  • Lemma 36.27.5
  • Lemma 36.27.6
• Section 36.28: Dimension of fibres
  • Lemma 36.28.1
  • Lemma 36.28.2
  • Lemma 36.28.3
  • Lemma 36.28.4
  • Lemma 36.28.5
  • Lemma 36.28.6
• Section 36.29: Theorem of the cube
  • Lemma 36.29.1
  • Lemma 36.29.2
  • Lemma 36.29.3
  • Lemma 36.29.4
  • Lemma 36.29.5
  • Lemma 36.29.6
  • Lemma 36.29.7
  • Theorem 36.29.8: Theorem of the cube
• Section 36.30: Limit arguments
  • Lemma 36.30.1
  • Lemma 36.30.2
  • Lemma 36.30.3
  • Lemma 36.30.4
  • Lemma 36.30.5
  • Lemma 36.30.6
  • Lemma 36.30.7
  • Lemma 36.30.8
  • Lemma 36.30.9
  • Lemma 36.30.10
  • Lemma 36.30.11
• Section 36.31: Étale neighbourhoods
  • Definition 36.31.1
  • Lemma 36.31.2
  • Lemma 36.31.3
  • Lemma 36.31.4
  • Lemma 36.31.5
  • Lemma 36.31.6 slogan
• Section 36.32: Étale neighbourhoods and Artin approximation
  • Lemma 36.32.1
  • Lemma 36.32.2
  • Lemma 36.32.3
  • Lemma 36.32.4
  • Lemma 36.32.5
    • Equation 36.32.5.1
    • Equation 36.32.5.2
  • Lemma 36.32.6
• Section 36.33: Étale neighbourhoods and branches
  • Lemma 36.33.1
  • Lemma 36.33.2
  • Lemma 36.33.3
  • Lemma 36.33.4
• Section 36.34: Slicing smooth morphisms
  • Lemma 36.34.1
  • Lemma 36.34.2
  • Remark 36.34.3
  • Lemma 36.34.4
  • Lemma 36.34.5
  • Lemma 36.34.6
  • Lemma 36.34.7
  • Lemma 36.34.8
• Section 36.35: Finite free locally dominates étale
  • Lemma 36.35.1
  • Lemma 36.35.2
  • Remark 36.35.3
• Section 36.36: Étale localization of quasi-finite morphisms
  • Equation 36.36.0.1
  • Lemma 36.36.1
  • Lemma 36.36.2
  • Lemma 36.36.3
  • Lemma 36.36.4
  • Lemma 36.36.5
  • Lemma 36.36.6
• Section 36.37: Étale localization of integral morphisms
  • Lemma 36.37.1
• Section 36.38: Zariski's Main Theorem
  • Lemma 36.38.1
  • Lemma 36.38.2
  • Lemma 36.38.3: Zariski's Main Theorem reference
  • Lemma 36.38.4
  • Lemma 36.38.5
  • Lemma 36.38.6
  • Lemma 36.38.7
  • Lemma 36.38.8
  • Lemma 36.38.9
  • Lemma 36.38.10
  • Lemma 36.38.11
  • Lemma 36.38.12
  • Lemma 36.38.13
• Section 36.39: Application to morphisms with connected fibres
  • Lemma 36.39.1
  • Lemma 36.39.2
  • Lemma 36.39.3
  • Lemma 36.39.4
• Section 36.40: Application to the structure of finite type morphisms
  • Lemma 36.40.1
  • Lemma 36.40.2 slogan
  • Lemma 36.40.3
  • Lemma 36.40.4
• Section 36.41: Application to the fppf topology
  • Lemma 36.41.1
  • Lemma 36.41.2
  • Lemma 36.41.3
  • Lemma 36.41.4
  • Lemma 36.41.5
  • Lemma 36.41.6
  • Lemma 36.41.7
  • Remark 36.41.8
• Section 36.42: Quasi-projective schemes
  • Lemma 36.42.1
  • Lemma 36.42.2
  • Lemma 36.42.3
• Section 36.43: Projective schemes
  • Lemma 36.43.1
  • Lemma 36.43.2
  • Lemma 36.43.3 reference
• Section 36.44: Proj and Spec
  • Equation 36.44.0.1
  • Equation 36.44.0.2
  • Lemma 36.44.1
• Section 36.45: Closed points in fibres
  • Lemma 36.45.1
  • Lemma 36.45.2
  • Lemma 36.45.3
  • Lemma 36.45.4
  • Remark 36.45.5
  • Lemma 36.45.6
  • Lemma 36.45.7
  • Remark 36.45.8
  • Lemma 36.45.9
• Section 36.46: Stein factorization
  • Lemma 36.46.1
  • Lemma 36.46.2
  • Lemma 36.46.3
  • Theorem 36.46.4: Stein factorization; Noetherian case
  • Theorem 36.46.5: Stein factorization; general case
  • Lemma 36.46.6
  • Lemma 36.46.7
  • Lemma 36.46.8
  • Lemma 36.46.9 reference
• Section 36.47: Descending separated locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 36.47.1
• Section 36.48: Relative finite presentation
  • Definition 36.48.1
  • Lemma 36.48.2
  • Lemma 36.48.3
  • Lemma 36.48.4
  • Lemma 36.48.5
  • Lemma 36.48.6
  • Lemma 36.48.7
  • Lemma 36.48.8
  • Lemma 36.48.9 slogan
• Section 36.49: Relative pseudo-coherence
  • Lemma 36.49.1
  • Definition 36.49.2
  • Lemma 36.49.3
  • Lemma 36.49.4
  • Lemma 36.49.5
  • Lemma 36.49.6
  • Lemma 36.49.7
  • Lemma 36.49.8
  • Lemma 36.49.9
  • Lemma 36.49.10
  • Lemma 36.49.11
  • Lemma 36.49.12
  • Lemma 36.49.13
  • Lemma 36.49.14
  • Lemma 36.49.15
  • Lemma 36.49.16
  • Lemma 36.49.17
  • Lemma 36.49.18
• Section 36.50: Pseudo-coherent morphisms
  • Lemma 36.50.1
  • Definition 36.50.2
  • Lemma 36.50.3
  • Lemma 36.50.4
  • Lemma 36.50.5
  • Lemma 36.50.6
  • Lemma 36.50.7
  • Lemma 36.50.8
  • Lemma 36.50.9
  • Lemma 36.50.10
  • Lemma 36.50.11
  • Lemma 36.50.12
  • Lemma 36.50.13
• Section 36.51: Perfect morphisms
  • Lemma 36.51.1
  • Definition 36.51.2
  • Lemma 36.51.3
  • Lemma 36.51.4
  • Lemma 36.51.5
  • Lemma 36.51.6
  • Lemma 36.51.7
  • Lemma 36.51.8
  • Remark 36.51.9
  • Lemma 36.51.10
  • Lemma 36.51.11
  • Lemma 36.51.12
  • Lemma 36.51.13
  • Lemma 36.51.14
• Section 36.52: Local complete intersection morphisms
  • Lemma 36.52.1
  • Definition 36.52.2
  • Lemma 36.52.3
  • Lemma 36.52.4
  • Lemma 36.52.5
  • Lemma 36.52.6
  • Lemma 36.52.7
  • Lemma 36.52.8 slogan
  • Lemma 36.52.9
  • Lemma 36.52.10
  • Lemma 36.52.11
  • Lemma 36.52.12
  • Lemma 36.52.13
  • Lemma 36.52.14
  • Lemma 36.52.15
  • Lemma 36.52.16
  • Lemma 36.52.17
• Section 36.53: Exact sequences of differentials and conormal sheaves
• Section 36.54: Weakly étale morphisms
  • Definition 36.54.1
  • Lemma 36.54.2
  • Lemma 36.54.3
  • Lemma 36.54.4
  • Lemma 36.54.5
  • Lemma 36.54.6
  • Lemma 36.54.7
  • Lemma 36.54.8
  • Lemma 36.54.9
  • Lemma 36.54.10
  • Lemma 36.54.11
  • Lemma 36.54.12
  • Lemma 36.54.13
• Section 36.55: Reduced fibre theorem
  • Equation 36.55.0.1
  • Theorem 36.55.1
  • Lemma 36.55.2: Variant over curves
  • Lemma 36.55.3: Variant with separable extension
  • Lemma 36.55.4: Variant with separable extensions over curves
• Section 36.56: Ind-quasi-affine morphisms
  • Definition 36.56.1
  • Lemma 36.56.2
  • Lemma 36.56.3
  • Lemma 36.56.4
• Section 36.57: Pushouts in the category of schemes, II
  • Situation 36.57.1
  • Lemma 36.57.2
  • Proposition 36.57.3 reference
  • Lemma 36.57.4
  • Lemma 36.57.5
  • Lemma 36.57.6
  • Lemma 36.57.7
  • Lemma 36.57.8
  • Lemma 36.57.9
• Section 36.58: Relative morphisms
  • Equation 36.58.0.1
  • Equation 36.58.0.2
  • Lemma 36.58.1
  • Lemma 36.58.2
  • Lemma 36.58.3
  • Lemma 36.58.4
• Section 36.59: Characterizing pseudo-coherent complexes, III
  • Lemma 36.59.1
  • Lemma 36.59.2: Derived Chow's lemma
  • Lemma 36.59.3
  • Lemma 36.59.4
• Section 36.60: Descent finiteness properties of complexes
  • Lemma 36.60.1
  • Lemma 36.60.2
  • Lemma 36.60.3
• Section 36.61: Relatively perfect objects
  • Lemma 36.61.1
  • Lemma 36.61.2
  • Lemma 36.61.3
• Section 36.62: Contracting rational curves
  • Lemma 36.62.1
  • Lemma 36.62.2
  • Lemma 36.62.3
  • Lemma 36.62.4
  • Lemma 36.62.5
  • Lemma 36.62.6
  • Lemma 36.62.7
  • Lemma 36.62.8