29 Morphisms of Schemes

• Section 29.1: Introduction
• Section 29.2: Closed immersions
  • Lemma 29.2.1
  • Lemma 29.2.2
  • Lemma 29.2.3
  • Lemma 29.2.4
  • Lemma 29.2.5
  • Lemma 29.2.6
  • Lemma 29.2.7
• Section 29.3: Immersions
  • Lemma 29.3.1
  • Lemma 29.3.2
  • Lemma 29.3.3
  • Example 29.3.4
  • Lemma 29.3.5
• Section 29.4: Closed immersions and quasi-coherent sheaves
  • Lemma 29.4.1
  • Lemma 29.4.2
  • Lemma 29.4.3
  • Definition 29.4.4
  • Lemma 29.4.5
  • Lemma 29.4.6
• Section 29.5: Supports of modules
  • Lemma 29.5.1
  • Lemma 29.5.2
  • Lemma 29.5.3
  • Lemma 29.5.4
  • Definition 29.5.5
• Section 29.6: Scheme theoretic image
  • Lemma 29.6.1
  • Definition 29.6.2
  • Lemma 29.6.3
  • Example 29.6.4
  • Lemma 29.6.5
  • Lemma 29.6.6
  • Lemma 29.6.7
  • Lemma 29.6.8
• Section 29.7: Scheme theoretic closure and density
  • Definition 29.7.1
  • Example 29.7.2
  • Lemma 29.7.3
  • Example 29.7.4
  • Lemma 29.7.5
  • Lemma 29.7.6
  • Lemma 29.7.7
  • Lemma 29.7.8
  • Lemma 29.7.9
  • Lemma 29.7.10
• Section 29.8: Dominant morphisms
  • Definition 29.8.1
  • Lemma 29.8.2
  • Lemma 29.8.3 slogan
  • Lemma 29.8.4
  • Lemma 29.8.5
  • Lemma 29.8.6
  • Lemma 29.8.7
• Section 29.9: Surjective morphisms
  • Definition 29.9.1
  • Lemma 29.9.2
  • Lemma 29.9.3
  • Lemma 29.9.4
  • Example 29.9.5
  • Lemma 29.9.6
• Section 29.10: Radicial and universally injective morphisms
  • Definition 29.10.1
  • Lemma 29.10.2
  • Lemma 29.10.3
  • Lemma 29.10.4
  • Lemma 29.10.5
• Section 29.11: Affine morphisms
  • Definition 29.11.1
  • Lemma 29.11.2
  • Lemma 29.11.3 reference
  • Remark 29.11.4
  • Lemma 29.11.5
  • Lemma 29.11.6
  • Lemma 29.11.7
  • Lemma 29.11.8
  • Lemma 29.11.9
  • Lemma 29.11.10
  • Lemma 29.11.11
  • Lemma 29.11.12
  • Lemma 29.11.13
  • Lemma 29.11.14
• Section 29.12: Families of ample invertible modules
  • Definition 29.12.1 reference
  • Lemma 29.12.2
  • Remark 29.12.3
• Section 29.13: Quasi-affine morphisms
  • Definition 29.13.1
  • Lemma 29.13.2
  • Lemma 29.13.3
  • Lemma 29.13.4
  • Lemma 29.13.5
  • Lemma 29.13.6
  • Lemma 29.13.7
  • Lemma 29.13.8
• Section 29.14: Types of morphisms defined by properties of ring maps
  • Definition 29.14.1
  • Definition 29.14.2
  • Lemma 29.14.3
  • Lemma 29.14.4
  • Lemma 29.14.5
  • Lemma 29.14.6
  • Lemma 29.14.7
  • Lemma 29.14.8
  • Lemma 29.14.9
• Section 29.15: Morphisms of finite type
  • Definition 29.15.1
  • Lemma 29.15.2
  • Lemma 29.15.3
  • Lemma 29.15.4
  • Lemma 29.15.5
  • Lemma 29.15.6
  • Lemma 29.15.7
  • Lemma 29.15.8
• Section 29.16: Points of finite type and Jacobson schemes
  • Lemma 29.16.1
  • Lemma 29.16.2
  • Definition 29.16.3
  • Lemma 29.16.4
  • Lemma 29.16.5
  • Lemma 29.16.6
  • Lemma 29.16.7
  • Lemma 29.16.8
  • Lemma 29.16.9
  • Lemma 29.16.10
• Section 29.17: Universally catenary schemes
  • Definition 29.17.1
  • Lemma 29.17.2
  • Lemma 29.17.3
  • Lemma 29.17.4
  • Lemma 29.17.5
• Section 29.18: Nagata schemes, reprise
  • Lemma 29.18.1
  • Lemma 29.18.2
• Section 29.19: The singular locus, reprise
  • Definition 29.19.1
  • Lemma 29.19.2
  • Lemma 29.19.3
• Section 29.20: Quasi-finite morphisms
  • Definition 29.20.1 reference
  • Lemma 29.20.2
  • Lemma 29.20.3
  • Lemma 29.20.4
  • Lemma 29.20.5
  • Lemma 29.20.6
  • Lemma 29.20.7
  • Lemma 29.20.8 slogan
  • Lemma 29.20.9
  • Lemma 29.20.10
  • Lemma 29.20.11
  • Lemma 29.20.12
  • Lemma 29.20.13 slogan
  • Lemma 29.20.14
  • Lemma 29.20.15
  • Lemma 29.20.16
  • Lemma 29.20.17
  • Lemma 29.20.18
• Section 29.21: Morphisms of finite presentation
  • Definition 29.21.1
  • Lemma 29.21.2
  • Lemma 29.21.3
  • Lemma 29.21.4
  • Lemma 29.21.5
  • Lemma 29.21.6
  • Lemma 29.21.7 slogan
  • Lemma 29.21.8
  • Lemma 29.21.9 slogan
  • Lemma 29.21.10
  • Lemma 29.21.11
  • Lemma 29.21.12
• Section 29.22: Constructible sets
  • Lemma 29.22.1
  • Lemma 29.22.2
  • Theorem 29.22.3: Chevalley's Theorem reference
  • Lemma 29.22.4
• Section 29.23: Open morphisms
  • Definition 29.23.1
  • Lemma 29.23.2
  • Lemma 29.23.3
  • Lemma 29.23.4
  • Lemma 29.23.5 reference
  • Lemma 29.23.6
• Section 29.24: Submersive morphisms
  • Definition 29.24.1
  • Lemma 29.24.2
  • Lemma 29.24.3
• Section 29.25: Flat morphisms
  • Definition 29.25.1
  • Lemma 29.25.2
  • Lemma 29.25.3
  • Lemma 29.25.4
  • Lemma 29.25.5
  • Lemma 29.25.6
  • Lemma 29.25.7
  • Lemma 29.25.8
  • Lemma 29.25.9
  • Lemma 29.25.10
  • Lemma 29.25.11
  • Lemma 29.25.12 reference
  • Lemma 29.25.13
  • Lemma 29.25.14
  • Lemma 29.25.15
  • Lemma 29.25.16 slogan
• Section 29.26: Flat closed immersions
  • Lemma 29.26.1
  • Lemma 29.26.2
  • Definition 29.26.3
  • Lemma 29.26.4
• Section 29.27: Generic flatness
  • Proposition 29.27.1: Generic flatness
  • Proposition 29.27.2: Generic flatness, reduced case
  • Remark 29.27.3
• Section 29.28: Morphisms and dimensions of fibres
  • Lemma 29.28.1
  • Lemma 29.28.2
  • Lemma 29.28.3
  • Lemma 29.28.4 reference
  • Lemma 29.28.5
  • Lemma 29.28.6
  • Lemma 29.28.7
• Section 29.29: Morphisms of given relative dimension
  • Definition 29.29.1
  • Lemma 29.29.2
  • Lemma 29.29.3
  • Lemma 29.29.4 slogan
  • Lemma 29.29.5
  • Lemma 29.29.6
• Section 29.30: Syntomic morphisms
  • Definition 29.30.1
  • Lemma 29.30.2
  • Lemma 29.30.3
  • Lemma 29.30.4
  • Lemma 29.30.5
  • Lemma 29.30.6
  • Lemma 29.30.7
  • Lemma 29.30.8
  • Lemma 29.30.9
  • Lemma 29.30.10
  • Lemma 29.30.11
  • Lemma 29.30.12
  • Lemma 29.30.13
  • Lemma 29.30.14
  • Definition 29.30.15
  • Lemma 29.30.16
• Section 29.31: Conormal sheaf of an immersion
  • Definition 29.31.1
  • Lemma 29.31.2
  • Lemma 29.31.3
  • Lemma 29.31.4
  • Lemma 29.31.5
• Section 29.32: Sheaf of differentials of a morphism
  • Definition 29.32.1
  • Lemma 29.32.2
  • Lemma 29.32.3
  • Lemma 29.32.4
  • Lemma 29.32.5
  • Remark 29.32.6
  • Lemma 29.32.7
  • Lemma 29.32.8
  • Lemma 29.32.9
  • Lemma 29.32.10
  • Lemma 29.32.11
  • Lemma 29.32.12
  • Lemma 29.32.13
  • Lemma 29.32.14
  • Lemma 29.32.15
  • Lemma 29.32.16
  • Remark 29.32.17
  • Lemma 29.32.18
• Section 29.33: Finite order differential operators
  • Lemma 29.33.1
  • Lemma 29.33.2
  • Remark 29.33.3
• Section 29.34: Smooth morphisms
  • Definition 29.34.1
  • Lemma 29.34.2
  • Lemma 29.34.3
  • Lemma 29.34.4
  • Lemma 29.34.5
  • Lemma 29.34.6
  • Lemma 29.34.7
  • Lemma 29.34.8
  • Lemma 29.34.9
  • Lemma 29.34.10
  • Lemma 29.34.11 slogan
  • Lemma 29.34.12
  • Definition 29.34.13
  • Lemma 29.34.14
  • Lemma 29.34.15
  • Lemma 29.34.16
  • Lemma 29.34.17
  • Lemma 29.34.18
  • Lemma 29.34.19
  • Lemma 29.34.20
  • Lemma 29.34.21
• Section 29.35: Unramified morphisms
  • Definition 29.35.1
  • Lemma 29.35.2
  • Lemma 29.35.3
  • Lemma 29.35.4
  • Lemma 29.35.5
  • Lemma 29.35.6
  • Lemma 29.35.7
  • Lemma 29.35.8
  • Lemma 29.35.9
  • Lemma 29.35.10
  • Lemma 29.35.11
  • Lemma 29.35.12
  • Lemma 29.35.13
  • Lemma 29.35.14
  • Lemma 29.35.15
  • Lemma 29.35.16
  • Lemma 29.35.17
• Section 29.36: Étale morphisms
  • Definition 29.36.1
  • Lemma 29.36.2
  • Lemma 29.36.3
  • Lemma 29.36.4
  • Lemma 29.36.5
  • Lemma 29.36.6
  • Lemma 29.36.7 slogan
  • Lemma 29.36.8
  • Lemma 29.36.9
  • Lemma 29.36.10
  • Lemma 29.36.11
  • Lemma 29.36.12
  • Lemma 29.36.13
  • Lemma 29.36.14
  • Lemma 29.36.15
  • Lemma 29.36.16
  • Lemma 29.36.17
  • Lemma 29.36.18 slogan
  • Lemma 29.36.19
  • Lemma 29.36.20 slogan
• Section 29.37: Relatively ample sheaves
  • Definition 29.37.1 reference
  • Lemma 29.37.2
  • Lemma 29.37.3
  • Lemma 29.37.4 reference
  • Lemma 29.37.5 reference
  • Lemma 29.37.6 reference
  • Lemma 29.37.7
  • Lemma 29.37.8
  • Lemma 29.37.9
  • Lemma 29.37.10
• Section 29.38: Very ample sheaves
  • Definition 29.38.1
  • Lemma 29.38.2 reference
  • Example 29.38.3
  • Example 29.38.4
  • Example 29.38.5
  • Lemma 29.38.6
  • Lemma 29.38.7
  • Lemma 29.38.8
• Section 29.39: Ample and very ample sheaves relative to finite type morphisms
  • Lemma 29.39.1
  • Lemma 29.39.2
  • Lemma 29.39.3
  • Lemma 29.39.4
  • Lemma 29.39.5
  • Lemma 29.39.6
  • Lemma 29.39.7
  • Lemma 29.39.8
• Section 29.40: Quasi-projective morphisms
  • Definition 29.40.1 reference
  • Lemma 29.40.2
  • Lemma 29.40.3
  • Lemma 29.40.4
  • Lemma 29.40.5
  • Lemma 29.40.6
  • Lemma 29.40.7 reference
  • Lemma 29.40.8
• Section 29.41: Proper morphisms
  • Definition 29.41.1
  • Lemma 29.41.2
  • Lemma 29.41.3
  • Lemma 29.41.4
  • Lemma 29.41.5
  • Lemma 29.41.6
  • Lemma 29.41.7
  • Lemma 29.41.8 reference
  • Lemma 29.41.9
  • Lemma 29.41.10
  • Lemma 29.41.11
• Section 29.42: Valuative criteria
  • Lemma 29.42.1: Valuative criterion for properness reference
  • Lemma 29.42.2
  • Remark 29.42.3
  • Lemma 29.42.4
  • Lemma 29.42.5
• Section 29.43: Projective morphisms
  • Definition 29.43.1
  • Example 29.43.2
  • Lemma 29.43.3
  • Lemma 29.43.4
  • Lemma 29.43.5
  • Lemma 29.43.6
  • Lemma 29.43.7
  • Lemma 29.43.8
  • Lemma 29.43.9
  • Lemma 29.43.10
  • Lemma 29.43.11
  • Lemma 29.43.12
  • Lemma 29.43.13
  • Lemma 29.43.14
  • Lemma 29.43.15
  • Lemma 29.43.16
  • Lemma 29.43.17
  • Lemma 29.43.18
• Section 29.44: Integral and finite morphisms
  • Definition 29.44.1
  • Lemma 29.44.2
  • Lemma 29.44.3
  • Lemma 29.44.4
  • Lemma 29.44.5
  • Lemma 29.44.6
  • Lemma 29.44.7 slogan
  • Lemma 29.44.8
  • Lemma 29.44.9
  • Lemma 29.44.10
  • Lemma 29.44.11
  • Lemma 29.44.12
  • Lemma 29.44.13
  • Lemma 29.44.14
  • Lemma 29.44.15
  • Lemma 29.44.16
• Section 29.45: Universal homeomorphisms
  • Definition 29.45.1
  • Lemma 29.45.2
  • Lemma 29.45.3
  • Lemma 29.45.4
  • Lemma 29.45.5
  • Lemma 29.45.6
  • Lemma 29.45.7
  • Lemma 29.45.8
• Section 29.46: Universal homeomorphisms of affine schemes
  • Lemma 29.46.1
  • Lemma 29.46.2
  • Lemma 29.46.3
  • Lemma 29.46.4
  • Lemma 29.46.5
  • Lemma 29.46.6
  • Proposition 29.46.7
  • Proposition 29.46.8
  • Lemma 29.46.9
  • Lemma 29.46.10
  • Lemma 29.46.11
• Section 29.47: Absolute weak normalization and seminormalization
  • Definition 29.47.1
  • Lemma 29.47.2
  • Definition 29.47.3
  • Lemma 29.47.4
  • Lemma 29.47.5
  • Lemma 29.47.6
  • Lemma 29.47.7
  • Definition 29.47.8
  • Lemma 29.47.9
  • Lemma 29.47.10
• Section 29.48: Finite locally free morphisms
  • Definition 29.48.1
  • Lemma 29.48.2
  • Lemma 29.48.3
  • Lemma 29.48.4
  • Lemma 29.48.5
  • Lemma 29.48.6
  • Lemma 29.48.7
• Section 29.49: Rational maps
  • Definition 29.49.1
  • Lemma 29.49.2
  • Definition 29.49.3
  • Definition 29.49.4
  • Lemma 29.49.5
  • Definition 29.49.6
  • Lemma 29.49.7
  • Definition 29.49.8
  • Lemma 29.49.9
  • Definition 29.49.10
  • Definition 29.49.11
  • Lemma 29.49.12
  • Remark 29.49.13
  • Remark 29.49.14
• Section 29.50: Birational morphisms
  • Definition 29.50.1 reference
  • Lemma 29.50.2
  • Lemma 29.50.3
  • Example 29.50.4
  • Lemma 29.50.5
  • Lemma 29.50.6
  • Lemma 29.50.7
• Section 29.51: Generically finite morphisms
  • Lemma 29.51.1
  • Example 29.51.2
  • Remark 29.51.3
  • Lemma 29.51.4
  • Lemma 29.51.5
  • Lemma 29.51.6
  • Lemma 29.51.7
  • Definition 29.51.8
  • Lemma 29.51.9
  • Remark 29.51.10
  • Definition 29.51.11
  • Definition 29.51.12 reference
• Section 29.52: The dimension formula
  • Lemma 29.52.1
    • Equation 29.52.1.1
  • Lemma 29.52.2
    • Equation 29.52.2.1
  • Lemma 29.52.3
  • Lemma 29.52.4
  • Lemma 29.52.5
• Section 29.53: Relative normalization
  • Lemma 29.53.1
  • Definition 29.53.2
  • Definition 29.53.3
  • Lemma 29.53.4
  • Lemma 29.53.5
  • Lemma 29.53.6
  • Lemma 29.53.7
  • Lemma 29.53.8
  • Lemma 29.53.9
  • Lemma 29.53.10
  • Lemma 29.53.11
  • Lemma 29.53.12
  • Lemma 29.53.13
  • Lemma 29.53.14
  • Lemma 29.53.15
  • Lemma 29.53.16
• Section 29.54: Normalization
  • Equation 29.54.0.1
  • Definition 29.54.1
  • Lemma 29.54.2
  • Lemma 29.54.3
  • Lemma 29.54.4
  • Lemma 29.54.5
  • Lemma 29.54.6
  • Lemma 29.54.7
  • Lemma 29.54.8
  • Lemma 29.54.9
  • Lemma 29.54.10
  • Lemma 29.54.11
  • Lemma 29.54.12
• Section 29.55: Weak normalization
  • Lemma 29.55.1
  • Lemma 29.55.2
  • Lemma 29.55.3
  • Lemma 29.55.4
  • Lemma 29.55.5
  • Definition 29.55.6
  • Lemma 29.55.7
  • Definition 29.55.8
  • Definition 29.55.9
  • Lemma 29.55.10
  • Lemma 29.55.11
• Section 29.56: Zariski's Main Theorem (algebraic version)
  • Theorem 29.56.1: Algebraic version of Zariski's Main Theorem
  • Lemma 29.56.2 slogan
  • Lemma 29.56.3
  • Lemma 29.56.4
• Section 29.57: Universally bounded fibres
  • Definition 29.57.1
  • Lemma 29.57.2
  • Lemma 29.57.3
  • Lemma 29.57.4
  • Lemma 29.57.5
  • Lemma 29.57.6
  • Lemma 29.57.7
  • Lemma 29.57.8
  • Lemma 29.57.9
  • Lemma 29.57.10
• Section 29.58: Miscellany
  • Lemma 29.58.1
  • Lemma 29.58.2