21 Cohomology on Sites

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Section 21.1: Introduction
Section 21.2: Cohomology of sheaves
- Equation 21.2.0.1
- Equation 21.2.0.2
- Equation 21.2.0.3
- Equation 21.2.0.4
- Equation 21.2.0.5
- Equation 21.2.0.6
- Equation 21.2.0.7
Section 21.3: Derived functors
- Equation 21.3.0.1
- Equation 21.3.0.2
Section 21.4: First cohomology and torsors
- Definition 21.4.1
- Lemma 21.4.2
- Lemma 21.4.3
Section 21.5: First cohomology and extensions
- Lemma 21.5.1
- Lemma 21.5.2
Section 21.6: First cohomology and invertible sheaves
- Lemma 21.6.1
Section 21.7: Locality of cohomology
- Lemma 21.7.1
- Lemma 21.7.2
  - Equation 21.7.2.1
- Lemma 21.7.3
- Lemma 21.7.4
Section 21.8: The Čech complex and Čech cohomology
- Equation 21.8.0.1
- Definition 21.8.1
- Lemma 21.8.2
  - Equation 21.8.2.1
Section 21.9: Čech cohomology as a functor on presheaves
- Equation 21.9.0.1
- Lemma 21.9.1
- Lemma 21.9.2
- Lemma 21.9.3
- Lemma 21.9.4
- Lemma 21.9.5 slogan
- Lemma 21.9.6
Section 21.10: Čech cohomology and cohomology
- Lemma 21.10.1
- Lemma 21.10.2
- Lemma 21.10.3
- Lemma 21.10.4
- Lemma 21.10.5
- Lemma 21.10.6
- Lemma 21.10.7
- Lemma 21.10.8
- Lemma 21.10.9
Section 21.11: Second cohomology and gerbes
- Lemma 21.11.1
Section 21.12: Cohomology of modules
- Lemma 21.12.1
- Lemma 21.12.2
- Lemma 21.12.3
- Lemma 21.12.4
- Lemma 21.12.5
- Lemma 21.12.6
Section 21.13: Totally acyclic sheaves
- Lemma 21.13.1
- Lemma 21.13.2
- Lemma 21.13.3
- Definition 21.13.4
- Lemma 21.13.5
Section 21.14: The Leray spectral sequence
- Lemma 21.14.1
- Lemma 21.14.2
- Lemma 21.14.3
- Remark 21.14.4
- Lemma 21.14.5: Leray spectral sequence
- Lemma 21.14.6
- Lemma 21.14.7: Relative Leray spectral sequence
Section 21.15: The base change map
- Lemma 21.15.1
Section 21.16: Cohomology and colimits
- Lemma 21.16.1
- Lemma 21.16.2
- Remark 21.16.3
- Lemma 21.16.4
- Lemma 21.16.5
- Lemma 21.16.6
Section 21.17: Flat resolutions
- Lemma 21.17.1
- Definition 21.17.2
- Lemma 21.17.3
- Lemma 21.17.4
- Lemma 21.17.5
- Lemma 21.17.6
- Lemma 21.17.7
- Lemma 21.17.8
- Lemma 21.17.9
- Lemma 21.17.10
- Lemma 21.17.11
- Lemma 21.17.12
- Definition 21.17.13
- Definition 21.17.14
- Lemma 21.17.15
- Lemma 21.17.16
- Lemma 21.17.17
Section 21.18: Derived pullback
- Lemma 21.18.1
- Lemma 21.18.2
- Lemma 21.18.3
- Lemma 21.18.4
- Lemma 21.18.5
- Lemma 21.18.6
- Lemma 21.18.7
- Lemma 21.18.8
Section 21.19: Cohomology of unbounded complexes
- Lemma 21.19.1
- Lemma 21.19.2
- Remark 21.19.3
- Remark 21.19.4
- Remark 21.19.5
- Lemma 21.19.6
- Remark 21.19.7
- Lemma 21.19.8
Section 21.20: Some properties of K-injective complexes
- Lemma 21.20.1
- Lemma 21.20.2
- Lemma 21.20.3
- Lemma 21.20.4
- Lemma 21.20.5
- Lemma 21.20.6
- Lemma 21.20.7
- Lemma 21.20.8
- Lemma 21.20.9
- Lemma 21.20.10
- Lemma 21.20.11
Section 21.21: Localization and cohomology
- Lemma 21.21.1
- Lemma 21.21.2
Section 21.22: Inverse systems and cohomology
- Lemma 21.22.1
- Lemma 21.22.2
- Lemma 21.22.3
- Lemma 21.22.4
Section 21.23: Derived and homotopy limits
- Lemma 21.23.1
- Lemma 21.23.2
- Lemma 21.23.3
- Remark 21.23.4
  - Equation 21.23.4.1
- Lemma 21.23.5
- Lemma 21.23.6
- Lemma 21.23.7
- Lemma 21.23.8
- Lemma 21.23.9
- Lemma 21.23.10
- Lemma 21.23.11
- Lemma 21.23.12
Section 21.24: Producing K-injective resolutions
- Equation 21.24.0.1
- Lemma 21.24.1
- Lemma 21.24.2
Section 21.25: Bounded cohomological dimension
- Situation 21.25.1
- Lemma 21.25.2 reference
- Lemma 21.25.3
- Lemma 21.25.4 reference
- Situation 21.25.5
- Lemma 21.25.6 reference
Section 21.26: Mayer-Vietoris
- Lemma 21.26.1
- Lemma 21.26.2
- Lemma 21.26.3
- Lemma 21.26.4
Section 21.27: Comparing two topologies
Section 21.28: Formalities on cohomological descent
- Lemma 21.28.1
- Lemma 21.28.2
- Lemma 21.28.3
- Lemma 21.28.4
- Lemma 21.28.5
- Lemma 21.28.6 reference
- Lemma 21.28.7 reference
Section 21.29: Comparing two topologies, II
- Lemma 21.29.1
- Lemma 21.29.2
- Lemma 21.29.3
Section 21.30: Comparing cohomology
- Equation 21.30.0.1
- Situation 21.30.1
- Lemma 21.30.2
- Lemma 21.30.3
- Lemma 21.30.4
- Lemma 21.30.5
- Lemma 21.30.6
- Lemma 21.30.7
- Lemma 21.30.8
- Lemma 21.30.9
- Lemma 21.30.10
Section 21.31: Cohomology on Hausdorff and locally quasi-compact spaces
- Lemma 21.31.1
- Definition 21.31.2
- Lemma 21.31.3
- Lemma 21.31.4
- Remark 21.31.5: Set theoretic issues
- Lemma 21.31.6
- Lemma 21.31.7
- Lemma 21.31.8
- Lemma 21.31.9
- Lemma 21.31.10
- Lemma 21.31.11
- Lemma 21.31.12
Section 21.32: Spectral sequences for Ext
- Example 21.32.1
Section 21.33: Cup product
- Lemma 21.33.1
- Lemma 21.33.2
- Lemma 21.33.3
- Lemma 21.33.4
Section 21.34: Hom complexes
- Equation 21.34.0.1
- Equation 21.34.0.2
- Lemma 21.34.1
- Lemma 21.34.2
- Lemma 21.34.3
- Lemma 21.34.4
- Lemma 21.34.5
- Lemma 21.34.6
- Lemma 21.34.7
- Lemma 21.34.8
Section 21.35: Internal hom in the derived category
- Equation 21.35.0.1
- Lemma 21.35.1
- Lemma 21.35.2
- Lemma 21.35.3
- Lemma 21.35.4
- Lemma 21.35.5
- Lemma 21.35.6 slogan
- Lemma 21.35.7
- Lemma 21.35.8
- Lemma 21.35.9
  - Equation 21.35.9.1
- Remark 21.35.10
- Remark 21.35.11
- Remark 21.35.12
Section 21.36: Global derived hom
Section 21.37: Derived lower shriek
- Lemma 21.37.1
- Lemma 21.37.2
  - Equation 21.37.2.1
- Remark 21.37.3
- Lemma 21.37.4
- Lemma 21.37.5
- Lemma 21.37.6
- Lemma 21.37.7
Section 21.38: Derived lower shriek for fibred categories
- Situation 21.38.1
- Lemma 21.38.2
- Situation 21.38.3
- Lemma 21.38.4
- Lemma 21.38.5
- Remark 21.38.6
- Remark 21.38.7
- Lemma 21.38.8
Section 21.39: Homology on a category
- Example 21.39.1: Category over point
- Example 21.39.2: Computing homology
- Example 21.39.3
- Remark 21.39.4
- Lemma 21.39.5
- Lemma 21.39.6
- Lemma 21.39.7
- Lemma 21.39.8
- Lemma 21.39.9
- Lemma 21.39.10
- Remark 21.39.11: Simplicial modules
- Lemma 21.39.12
- Remark 21.39.13
Section 21.40: Calculating derived lower shriek
- Lemma 21.40.1
- Lemma 21.40.2
- Lemma 21.40.3
Section 21.41: Simplicial modules
- Definition 21.41.1
- Lemma 21.41.2
- Remark 21.41.3
Section 21.42: Cohomology on a category
- Example 21.42.1: Computing cohomology
- Example 21.42.2: Computing Exts
  - Equation 21.42.2.1
Section 21.43: Modules on a category
- Definition 21.43.1
- Lemma 21.43.2
- Lemma 21.43.3
- Lemma 21.43.4
- Lemma 21.43.5
- Lemma 21.43.6
- Lemma 21.43.7
- Lemma 21.43.8
- Proposition 21.43.9
- Lemma 21.43.10
- Lemma 21.43.11
- Lemma 21.43.12
- Lemma 21.43.13
Section 21.44: Strictly perfect complexes
- Definition 21.44.1
- Lemma 21.44.2
- Lemma 21.44.3
- Lemma 21.44.4
- Lemma 21.44.5
- Lemma 21.44.6
- Lemma 21.44.7
- Lemma 21.44.8
- Lemma 21.44.9
- Lemma 21.44.10
Section 21.45: Pseudo-coherent modules
- Definition 21.45.1
- Lemma 21.45.2
- Lemma 21.45.3
- Lemma 21.45.4
- Lemma 21.45.5
- Lemma 21.45.6
- Lemma 21.45.7
Section 21.46: Tor dimension
- Definition 21.46.1
- Lemma 21.46.2
- Lemma 21.46.3
- Lemma 21.46.4
- Lemma 21.46.5
- Lemma 21.46.6
- Lemma 21.46.7
- Lemma 21.46.8
- Lemma 21.46.9
- Lemma 21.46.10
Section 21.47: Perfect complexes
- Definition 21.47.1
- Lemma 21.47.2
- Lemma 21.47.3
- Lemma 21.47.4
- Lemma 21.47.5
- Lemma 21.47.6
- Lemma 21.47.7
- Lemma 21.47.8
Section 21.48: Duals
- Lemma 21.48.1
- Example 21.48.2
- Lemma 21.48.3
- Lemma 21.48.4
- Lemma 21.48.5
- Example 21.48.6
- Lemma 21.48.7
- Lemma 21.48.8 slogan
Section 21.49: Invertible objects in the derived category
- Lemma 21.49.1
- Lemma 21.49.2
Section 21.50: Projection formula
- Equation 21.50.0.1
- Lemma 21.50.1
- Remark 21.50.2
Section 21.51: Weakly contractible objects
- Lemma 21.51.1
- Proposition 21.51.2
Section 21.52: Compact objects
- Lemma 21.52.1
- Lemma 21.52.2
- Lemma 21.52.3
- Lemma 21.52.4
- Lemma 21.52.5
- Lemma 21.52.6
- Lemma 21.52.7
Section 21.53: Complexes with locally constant cohomology sheaves
- Lemma 21.53.1
- Lemma 21.53.2
- Lemma 21.53.3
- Lemma 21.53.4
- Lemma 21.53.5