15 More on Algebra

• Section 15.1: Introduction
• Section 15.2: Advice for the reader
• Section 15.3: Stably free modules
  • Definition 15.3.1
  • Lemma 15.3.2
  • Lemma 15.3.3
  • Lemma 15.3.4
  • Lemma 15.3.5
• Section 15.4: A comment on the Artin-Rees property
  • Lemma 15.4.1
  • Lemma 15.4.2
  • Lemma 15.4.3
• Section 15.5: Fibre products of rings, I
  • Lemma 15.5.1
  • Lemma 15.5.2
  • Lemma 15.5.3
    • Equation 15.5.3.1
  • Lemma 15.5.4
• Section 15.6: Fibre products of rings, II
  • Situation 15.6.1
  • Lemma 15.6.2
  • Lemma 15.6.3
    • Equation 15.6.3.1
  • Lemma 15.6.4
  • Lemma 15.6.5
  • Lemma 15.6.6
  • Lemma 15.6.7
  • Lemma 15.6.8
  • Lemma 15.6.9
• Section 15.7: Fibre products of rings, III
  • Situation 15.7.1
    • Equation 15.7.1.1
  • Lemma 15.7.2
  • Lemma 15.7.3
  • Lemma 15.7.4
  • Lemma 15.7.5
  • Lemma 15.7.6
  • Lemma 15.7.7
  • Remark 15.7.8
• Section 15.8: Fitting ideals
  • Lemma 15.8.1
  • Lemma 15.8.2
  • Definition 15.8.3
  • Lemma 15.8.4
  • Example 15.8.5
  • Example 15.8.6
  • Lemma 15.8.7
  • Lemma 15.8.8
  • Lemma 15.8.9
  • Lemma 15.8.10
• Section 15.9: Lifting
  • Lemma 15.9.1
  • Lemma 15.9.2
  • Lemma 15.9.3
  • Lemma 15.9.4
  • Lemma 15.9.5
  • Lemma 15.9.6
  • Lemma 15.9.7
  • Lemma 15.9.8
  • Lemma 15.9.9
  • Lemma 15.9.10
  • Lemma 15.9.11
  • Lemma 15.9.12
  • Lemma 15.9.13
  • Lemma 15.9.14
• Section 15.10: Zariski pairs
  • Definition 15.10.1
  • Lemma 15.10.2
  • Lemma 15.10.3
  • Lemma 15.10.4
  • Lemma 15.10.5
• Section 15.11: Henselian pairs
  • Definition 15.11.1
  • Lemma 15.11.2
  • Lemma 15.11.3
  • Lemma 15.11.4
  • Lemma 15.11.5
  • Lemma 15.11.6 reference
    • Equation 15.11.6.1
    • Equation 15.11.6.2
    • Equation 15.11.6.3
    • Equation 15.11.6.4
    • Equation 15.11.6.5
  • Lemma 15.11.7
  • Lemma 15.11.8
  • Lemma 15.11.9
  • Lemma 15.11.10
  • Lemma 15.11.11
  • Lemma 15.11.12
  • Lemma 15.11.13
  • Example 15.11.14: Moret-Bailly
  • Lemma 15.11.15
  • Lemma 15.11.16
• Section 15.12: Henselization of pairs
  • Lemma 15.12.1
  • Lemma 15.12.2
  • Lemma 15.12.3 slogan
  • Lemma 15.12.4 slogan
  • Lemma 15.12.5
  • Lemma 15.12.6 slogan
  • Lemma 15.12.7 slogan
• Section 15.13: Lifting and henselian pairs
  • Lemma 15.13.1
  • Lemma 15.13.2
  • Lemma 15.13.3
  • Lemma 15.13.4
• Section 15.14: Absolute integral closure
  • Definition 15.14.1
  • Lemma 15.14.2
  • Lemma 15.14.3
  • Lemma 15.14.4
  • Lemma 15.14.5
  • Lemma 15.14.6
  • Lemma 15.14.7
  • Lemma 15.14.8
• Section 15.15: Auto-associated rings
  • Definition 15.15.1
  • Lemma 15.15.2
  • Lemma 15.15.3
  • Lemma 15.15.4
  • Example 15.15.5
  • Lemma 15.15.6
  • Lemma 15.15.7
• Section 15.16: Flattening stratification
  • Lemma 15.16.1
• Section 15.17: Flattening over an Artinian ring
  • Lemma 15.17.1
  • Lemma 15.17.2
• Section 15.18: Flattening over a closed subset of the base
  • Equation 15.18.0.1
  • Lemma 15.18.1
  • Lemma 15.18.2
  • Lemma 15.18.3
• Section 15.19: Flattening over a closed subsets of source and base
  • Situation 15.19.1
    • Equation 15.19.1.1
  • Lemma 15.19.2
  • Lemma 15.19.3
  • Lemma 15.19.4
  • Lemma 15.19.5
• Section 15.20: Flattening over a Noetherian complete local ring
  • Lemma 15.20.1
  • Lemma 15.20.2
  • Lemma 15.20.3
• Section 15.21: Descent of flatness along integral maps
  • Lemma 15.21.1
  • Lemma 15.21.2
  • Lemma 15.21.3
  • Lemma 15.21.4
  • Lemma 15.21.5
  • Lemma 15.21.6
• Section 15.22: Torsion free modules
  • Definition 15.22.1
  • Lemma 15.22.2
  • Lemma 15.22.3
  • Lemma 15.22.4
  • Lemma 15.22.5
  • Lemma 15.22.6
  • Lemma 15.22.7
  • Lemma 15.22.8
  • Lemma 15.22.9
  • Lemma 15.22.10
  • Lemma 15.22.11
  • Lemma 15.22.12
• Section 15.23: Reflexive modules
  • Definition 15.23.1
  • Lemma 15.23.2
  • Lemma 15.23.3
  • Lemma 15.23.4
  • Lemma 15.23.5
  • Lemma 15.23.6
  • Lemma 15.23.7
  • Lemma 15.23.8
  • Definition 15.23.9
  • Lemma 15.23.10
  • Lemma 15.23.11
  • Lemma 15.23.12
  • Lemma 15.23.13
  • Lemma 15.23.14
  • Lemma 15.23.15
  • Lemma 15.23.16
  • Example 15.23.17
  • Lemma 15.23.18
  • Lemma 15.23.19
  • Lemma 15.23.20
• Section 15.24: Content ideals
  • Definition 15.24.1
  • Lemma 15.24.2
  • Lemma 15.24.3
  • Lemma 15.24.4
• Section 15.25: Flatness and finiteness conditions
  • Lemma 15.25.1
  • Lemma 15.25.2
  • Lemma 15.25.3
  • Lemma 15.25.4
  • Remark 15.25.5
  • Lemma 15.25.6 reference
  • Lemma 15.25.7
• Section 15.26: Blowing up and flatness
  • Definition 15.26.1
  • Lemma 15.26.2
  • Lemma 15.26.3
  • Lemma 15.26.4
  • Lemma 15.26.5
• Section 15.27: Completion and flatness
  • Lemma 15.27.1
  • Lemma 15.27.2
  • Lemma 15.27.3 reference
  • Lemma 15.27.4
  • Lemma 15.27.5
• Section 15.28: The Koszul complex
  • Definition 15.28.1
  • Definition 15.28.2
  • Lemma 15.28.3
  • Lemma 15.28.4
  • Lemma 15.28.5
  • Lemma 15.28.6
    • Equation 15.28.6.1
  • Lemma 15.28.7
  • Lemma 15.28.8
  • Lemma 15.28.9
  • Lemma 15.28.10
  • Lemma 15.28.11
  • Lemma 15.28.12
• Section 15.29: The extended alternating Čech complex
  • Lemma 15.29.1
  • Lemma 15.29.2
  • Lemma 15.29.3
  • Lemma 15.29.4
  • Lemma 15.29.5
  • Lemma 15.29.6
• Section 15.30: Koszul regular sequences
  • Definition 15.30.1
  • Lemma 15.30.2
  • Lemma 15.30.3
  • Lemma 15.30.4
  • Lemma 15.30.5
  • Lemma 15.30.6
  • Lemma 15.30.7
  • Lemma 15.30.8
  • Lemma 15.30.9
  • Lemma 15.30.10
  • Lemma 15.30.11
  • Lemma 15.30.12
  • Lemma 15.30.13
  • Lemma 15.30.14
  • Lemma 15.30.15
  • Lemma 15.30.16 reference
  • Lemma 15.30.17
• Section 15.31: More on Koszul regular sequences
  • Lemma 15.31.1
  • Lemma 15.31.2
  • Lemma 15.31.3
  • Lemma 15.31.4
  • Lemma 15.31.5
  • Lemma 15.31.6
• Section 15.32: Regular ideals
  • Definition 15.32.1
  • Lemma 15.32.2
  • Lemma 15.32.3
  • Lemma 15.32.4
  • Lemma 15.32.5
• Section 15.33: Local complete intersection maps
  • Lemma 15.33.1
  • Definition 15.33.2
  • Lemma 15.33.3
  • Lemma 15.33.4
  • Lemma 15.33.5
  • Lemma 15.33.6
  • Lemma 15.33.7
  • Lemma 15.33.8
• Section 15.34: Cartier's equality and geometric regularity
  • Lemma 15.34.1: Cartier equality
  • Lemma 15.34.2
  • Lemma 15.34.3
• Section 15.35: Geometric regularity
  • Proposition 15.35.1
  • Lemma 15.35.2
• Section 15.36: Topological rings and modules
  • Definition 15.36.1: Topological rings reference
  • Lemma 15.36.2
  • Lemma 15.36.3: Baire category theorem
  • Lemma 15.36.4
  • Lemma 15.36.5: Open mapping lemma
• Section 15.37: Formally smooth maps of topological rings
  • Definition 15.37.1
  • Lemma 15.37.2
  • Definition 15.37.3
  • Lemma 15.37.4
  • Lemma 15.37.5
  • Lemma 15.37.6
  • Lemma 15.37.7
  • Lemma 15.37.8
  • Lemma 15.37.9
• Section 15.38: Formally smooth maps of local rings
  • Lemma 15.38.1
  • Lemma 15.38.2
  • Lemma 15.38.3
  • Lemma 15.38.4
  • Lemma 15.38.5
  • Lemma 15.38.6
• Section 15.39: Some results on power series rings
  • Lemma 15.39.1
  • Lemma 15.39.2
  • Lemma 15.39.3
  • Lemma 15.39.4
• Section 15.40: Geometric regularity and formal smoothness
  • Theorem 15.40.1
  • Example 15.40.2
  • Lemma 15.40.3
  • Lemma 15.40.4
  • Proposition 15.40.5
  • Lemma 15.40.6
  • Remark 15.40.7
• Section 15.41: Regular ring maps
  • Definition 15.41.1
  • Lemma 15.41.2: Regular is a local property
  • Lemma 15.41.3: Regular maps and base change
  • Lemma 15.41.4: Composition of regular maps
  • Lemma 15.41.5
  • Lemma 15.41.6
  • Lemma 15.41.7
• Section 15.42: Ascending properties along regular ring maps
  • Lemma 15.42.1
  • Lemma 15.42.2
• Section 15.43: Permanence of properties under completion
  • Lemma 15.43.1
  • Lemma 15.43.2
  • Lemma 15.43.3
  • Lemma 15.43.4
  • Lemma 15.43.5
  • Lemma 15.43.6
  • Lemma 15.43.7
  • Lemma 15.43.8
  • Lemma 15.43.9
• Section 15.44: Permanence of properties under étale maps
  • Lemma 15.44.1
  • Lemma 15.44.2
  • Lemma 15.44.3
  • Lemma 15.44.4
• Section 15.45: Permanence of properties under henselization
  • Lemma 15.45.1
  • Lemma 15.45.2
  • Lemma 15.45.3 reference
  • Lemma 15.45.4 slogan
  • Lemma 15.45.5
  • Lemma 15.45.6
  • Lemma 15.45.7
  • Lemma 15.45.8
  • Lemma 15.45.9
  • Lemma 15.45.10
  • Lemma 15.45.11
  • Lemma 15.45.12
  • Lemma 15.45.13
• Section 15.46: Field extensions, revisited
  • Definition 15.46.1
  • Lemma 15.46.2
  • Lemma 15.46.3
  • Lemma 15.46.4
  • Lemma 15.46.5
• Section 15.47: The singular locus
  • Definition 15.47.1 reference
  • Lemma 15.47.2
  • Lemma 15.47.3
  • Lemma 15.47.4
  • Lemma 15.47.5
  • Lemma 15.47.6
• Section 15.48: Regularity and derivations
  • Lemma 15.48.1
  • Lemma 15.48.2 slogan
  • Lemma 15.48.3
  • Lemma 15.48.4
  • Lemma 15.48.5
  • Lemma 15.48.6
  • Proposition 15.48.7
• Section 15.49: Formal smoothness and regularity
  • Lemma 15.49.1
  • Proposition 15.49.2
• Section 15.50: G-rings
  • Definition 15.50.1
  • Lemma 15.50.2
  • Lemma 15.50.3
  • Lemma 15.50.4
  • Lemma 15.50.5
  • Proposition 15.50.6
  • Lemma 15.50.7
  • Lemma 15.50.8
  • Lemma 15.50.9
  • Proposition 15.50.10
  • Remark 15.50.11
  • Proposition 15.50.12
  • Lemma 15.50.13
  • Lemma 15.50.14 reference
  • Lemma 15.50.15 slogan reference
• Section 15.51: Properties of formal fibres
  • Lemma 15.51.1
  • Lemma 15.51.2
  • Lemma 15.51.3
  • Lemma 15.51.4
  • Proposition 15.51.5
  • Lemma 15.51.6
  • Lemma 15.51.7 slogan
  • Lemma 15.51.8
  • Lemma 15.51.9
  • Lemma 15.51.10
  • Lemma 15.51.11
  • Lemma 15.51.12
  • Lemma 15.51.13
• Section 15.52: Excellent rings
  • Definition 15.52.1
  • Lemma 15.52.2
  • Proposition 15.52.3
  • Lemma 15.52.4
  • Lemma 15.52.5
  • Lemma 15.52.6
• Section 15.53: Abelian categories of modules
• Section 15.54: Injective abelian groups
  • Lemma 15.54.1
• Section 15.55: Injective modules
  • Definition 15.55.1
  • Lemma 15.55.2
  • Lemma 15.55.3
  • Lemma 15.55.4
  • Definition 15.55.5
  • Lemma 15.55.6
  • Lemma 15.55.7
  • Lemma 15.55.8
  • Lemma 15.55.9
• Section 15.56: Derived categories of modules
  • Lemma 15.56.1
  • Lemma 15.56.2
  • Lemma 15.56.3
• Section 15.57: Computing Tor
  • Equation 15.57.0.1
  • Equation 15.57.0.2
• Section 15.58: Tensor products of complexes
  • Lemma 15.58.1
  • Lemma 15.58.2
  • Lemma 15.58.3
  • Lemma 15.58.4
• Section 15.59: Derived tensor product
  • Definition 15.59.1
  • Lemma 15.59.2
  • Lemma 15.59.3
  • Lemma 15.59.4
  • Lemma 15.59.5
  • Lemma 15.59.6
  • Lemma 15.59.7
  • Lemma 15.59.8
  • Lemma 15.59.9
  • Lemma 15.59.10
  • Remark 15.59.11
  • Lemma 15.59.12
  • Definition 15.59.13
  • Lemma 15.59.14
  • Lemma 15.59.15
  • Lemma 15.59.16
• Section 15.60: Derived change of rings
  • Lemma 15.60.1
  • Lemma 15.60.2
  • Lemma 15.60.3
  • Remark 15.60.4: Warning
  • Lemma 15.60.5
• Section 15.61: Tor independence
  • Equation 15.61.0.1
  • Definition 15.61.1
  • Lemma 15.61.2
  • Lemma 15.61.3
  • Lemma 15.61.4
  • Lemma 15.61.5
  • Lemma 15.61.6
• Section 15.62: Spectral sequences for Tor
  • Example 15.62.1
  • Example 15.62.2
  • Example 15.62.3
  • Example 15.62.4
• Section 15.63: Products and Tor
  • Equation 15.63.0.1
  • Equation 15.63.0.2
  • Equation 15.63.0.3
  • Lemma 15.63.1
• Section 15.64: Pseudo-coherent modules, I
  • Equation 15.64.0.1
  • Definition 15.64.1
  • Lemma 15.64.2
  • Lemma 15.64.3
  • Lemma 15.64.4
  • Lemma 15.64.5
  • Lemma 15.64.6
  • Lemma 15.64.7
  • Lemma 15.64.8
  • Lemma 15.64.9
  • Lemma 15.64.10
  • Lemma 15.64.11
  • Lemma 15.64.12
  • Lemma 15.64.13
  • Lemma 15.64.14
  • Lemma 15.64.15
  • Lemma 15.64.16
  • Lemma 15.64.17
  • Lemma 15.64.18
• Section 15.65: Pseudo-coherent modules, II
  • Lemma 15.65.1
  • Lemma 15.65.2
  • Lemma 15.65.3
  • Lemma 15.65.4
  • Lemma 15.65.5
  • Lemma 15.65.6
  • Lemma 15.65.7
• Section 15.66: Tor dimension
  • Definition 15.66.1
  • Lemma 15.66.2
  • Lemma 15.66.3
  • Lemma 15.66.4
  • Lemma 15.66.5
  • Lemma 15.66.6
  • Lemma 15.66.7
  • Lemma 15.66.8
  • Lemma 15.66.9
  • Lemma 15.66.10
  • Lemma 15.66.11
  • Lemma 15.66.12
  • Lemma 15.66.13
  • Lemma 15.66.14
  • Lemma 15.66.15
  • Lemma 15.66.16
  • Lemma 15.66.17
  • Lemma 15.66.18
  • Lemma 15.66.19
  • Lemma 15.66.20
• Section 15.67: Spectral sequences for Ext
  • Equation 15.67.0.1
  • Equation 15.67.0.2
• Section 15.68: Projective dimension
  • Definition 15.68.1
  • Lemma 15.68.2
  • Example 15.68.3
• Section 15.69: Injective dimension
  • Definition 15.69.1
  • Lemma 15.69.2
  • Example 15.69.3
  • Example 15.69.4
  • Lemma 15.69.5
  • Lemma 15.69.6
  • Lemma 15.69.7
• Section 15.70: Modules which are close to being projective
  • Lemma 15.70.1
  • Lemma 15.70.2
  • Lemma 15.70.3
  • Definition 15.70.4
  • Lemma 15.70.5
  • Lemma 15.70.6
  • Lemma 15.70.7
• Section 15.71: Hom complexes
  • Equation 15.71.0.1
  • Lemma 15.71.1
    • Equation 15.71.1.1
  • Remark 15.71.2
  • Lemma 15.71.3
  • Lemma 15.71.4
  • Lemma 15.71.5
  • Lemma 15.71.6
    • Equation 15.71.6.1
    • Equation 15.71.6.2
  • Remark 15.71.7
• Section 15.72: Sign rules
  • Lemma 15.72.1
  • Lemma 15.72.2
• Section 15.73: Derived hom
  • Equation 15.73.0.1
  • Equation 15.73.0.2
  • Lemma 15.73.1
  • Lemma 15.73.2
  • Lemma 15.73.3
  • Lemma 15.73.4
  • Lemma 15.73.5
  • Lemma 15.73.6
• Section 15.74: Perfect complexes
  • Definition 15.74.1
  • Lemma 15.74.2
  • Lemma 15.74.3
  • Lemma 15.74.4
  • Lemma 15.74.5
  • Lemma 15.74.6
  • Lemma 15.74.7
  • Lemma 15.74.8
  • Lemma 15.74.9
  • Lemma 15.74.10
  • Lemma 15.74.11
  • Lemma 15.74.12
  • Lemma 15.74.13
  • Lemma 15.74.14
  • Lemma 15.74.15
  • Lemma 15.74.16 slogan
  • Lemma 15.74.17
• Section 15.75: Lifting complexes
  • Lemma 15.75.1
  • Lemma 15.75.2
  • Lemma 15.75.3
  • Lemma 15.75.4
  • Lemma 15.75.5
  • Lemma 15.75.6
  • Lemma 15.75.7
  • Lemma 15.75.8
  • Lemma 15.75.9
• Section 15.76: Splitting complexes
  • Lemma 15.76.1
  • Lemma 15.76.2
  • Lemma 15.76.3
  • Lemma 15.76.4
  • Lemma 15.76.5
  • Lemma 15.76.6
• Section 15.77: Recognizing perfect complexes
  • Lemma 15.77.1
  • Lemma 15.77.2
  • Lemma 15.77.3
  • Lemma 15.77.4
  • Lemma 15.77.5
  • Lemma 15.77.6
• Section 15.78: Characterizing perfect complexes
  • Lemma 15.78.1
  • Lemma 15.78.2
  • Proposition 15.78.3
  • Lemma 15.78.4
  • Lemma 15.78.5
• Section 15.79: Strong generators and regular rings
  • Lemma 15.79.1 reference
  • Lemma 15.79.2
  • Lemma 15.79.3
  • Lemma 15.79.4
  • Lemma 15.79.5
  • Proposition 15.79.6
• Section 15.80: Relatively finitely presented modules
  • Lemma 15.80.1
  • Definition 15.80.2
  • Lemma 15.80.3
  • Lemma 15.80.4
  • Lemma 15.80.5
  • Lemma 15.80.6
  • Lemma 15.80.7
  • Lemma 15.80.8
  • Lemma 15.80.9
  • Lemma 15.80.10
• Section 15.81: Relatively pseudo-coherent modules
  • Lemma 15.81.1
  • Lemma 15.81.2
  • Lemma 15.81.3
  • Definition 15.81.4
  • Lemma 15.81.5
  • Lemma 15.81.6
  • Lemma 15.81.7
  • Lemma 15.81.8
  • Lemma 15.81.9
  • Lemma 15.81.10
  • Lemma 15.81.11
  • Lemma 15.81.12
  • Lemma 15.81.13
  • Lemma 15.81.14
  • Lemma 15.81.15
  • Lemma 15.81.16
  • Lemma 15.81.17
• Section 15.82: Pseudo-coherent and perfect ring maps
  • Definition 15.82.1
  • Lemma 15.82.2
  • Lemma 15.82.3
  • Lemma 15.82.4
  • Lemma 15.82.5
  • Lemma 15.82.6
  • Lemma 15.82.7
  • Lemma 15.82.8
• Section 15.83: Relatively perfect modules
  • Definition 15.83.1
  • Lemma 15.83.2
  • Lemma 15.83.3
  • Lemma 15.83.4
  • Lemma 15.83.5
  • Lemma 15.83.6
  • Lemma 15.83.7
  • Lemma 15.83.8
  • Lemma 15.83.9
  • Lemma 15.83.10
• Section 15.84: Two term complexes
  • Lemma 15.84.1
  • Remark 15.84.2
  • Lemma 15.84.3
  • Lemma 15.84.4
  • Lemma 15.84.5
  • Lemma 15.84.6
  • Lemma 15.84.7
  • Lemma 15.84.8
  • Lemma 15.84.9
  • Lemma 15.84.10
  • Lemma 15.84.11
  • Lemma 15.84.12
• Section 15.85: The naive cotangent complex
  • Lemma 15.85.1
  • Lemma 15.85.2
  • Lemma 15.85.3
  • Lemma 15.85.4
  • Lemma 15.85.5
• Section 15.86: Rlim of abelian groups
  • Lemma 15.86.1
    • Equation 15.86.1.1
  • Lemma 15.86.2
  • Lemma 15.86.3
  • Lemma 15.86.4
  • Lemma 15.86.5
  • Remark 15.86.6: Rlim as cohomology
  • Lemma 15.86.7
  • Lemma 15.86.8
  • Lemma 15.86.9
  • Remark 15.86.10
  • Lemma 15.86.11
  • Lemma 15.86.12: Emmanouil reference
  • Lemma 15.86.13
  • Lemma 15.86.14
• Section 15.87: Rlim of modules
  • Lemma 15.87.1
  • Remark 15.87.2
  • Lemma 15.87.3
  • Lemma 15.87.4
  • Lemma 15.87.5
  • Remark 15.87.6
  • Lemma 15.87.7
  • Lemma 15.87.8
  • Lemma 15.87.9
  • Remark 15.87.10
  • Lemma 15.87.11
  • Lemma 15.87.12
• Section 15.88: Torsion modules
  • Definition 15.88.1
  • Lemma 15.88.2
  • Lemma 15.88.3
  • Lemma 15.88.4
  • Lemma 15.88.5
  • Lemma 15.88.6
  • Lemma 15.88.7
  • Lemma 15.88.8 reference
• Section 15.89: Formal glueing of module categories
  • Lemma 15.89.1
  • Lemma 15.89.2
  • Lemma 15.89.3
  • Lemma 15.89.4
  • Lemma 15.89.5
  • Lemma 15.89.6
  • Lemma 15.89.7
  • Lemma 15.89.8
    • Equation 15.89.8.1
  • Lemma 15.89.9
  • Remark 15.89.10
  • Lemma 15.89.11
  • Lemma 15.89.12
  • Lemma 15.89.13
  • Lemma 15.89.14
  • Lemma 15.89.15
  • Proposition 15.89.16
  • Lemma 15.89.17
  • Theorem 15.89.18
  • Proposition 15.89.19
  • Remark 15.89.20
  • Remark 15.89.21
• Section 15.90: The Beauville-Laszlo theorem
  • Lemma 15.90.1
  • Lemma 15.90.2
  • Lemma 15.90.3
  • Lemma 15.90.4 reference
  • Remark 15.90.5
    • Equation 15.90.5.1
    • Equation 15.90.5.2
  • Lemma 15.90.6
  • Remark 15.90.7
  • Remark 15.90.8
  • Example 15.90.9
    • Equation 15.90.9.1
    • Equation 15.90.9.2
  • Lemma 15.90.10
  • Remark 15.90.11
  • Example 15.90.12: Non glueable module reference
  • Lemma 15.90.13
  • Lemma 15.90.14
  • Lemma 15.90.15 reference
  • Theorem 15.90.16 reference
    • Equation 15.90.16.1
    • Equation 15.90.16.2
    • Equation 15.90.16.3
  • Remark 15.90.17
  • Lemma 15.90.18
  • Lemma 15.90.19
  • Remark 15.90.20
• Section 15.91: Derived Completion
  • Lemma 15.91.1
  • Lemma 15.91.2
  • Lemma 15.91.3
  • Definition 15.91.4
  • Proposition 15.91.5
  • Lemma 15.91.6
  • Lemma 15.91.7
  • Lemma 15.91.8
  • Lemma 15.91.9
  • Lemma 15.91.10 slogan
  • Remark 15.91.11
  • Lemma 15.91.12
  • Lemma 15.91.13
  • Lemma 15.91.14
  • Situation 15.91.15
  • Lemma 15.91.16
  • Lemma 15.91.17
  • Lemma 15.91.18
  • Lemma 15.91.19 slogan reference
  • Lemma 15.91.20
  • Lemma 15.91.21
  • Example 15.91.22
  • Lemma 15.91.23
  • Lemma 15.91.24
• Section 15.92: The category of derived complete modules
  • Lemma 15.92.1
• Section 15.93: Derived completion for a principal ideal
  • Lemma 15.93.1
  • Lemma 15.93.2
  • Example 15.93.3
  • Example 15.93.4
  • Example 15.93.5
  • Lemma 15.93.6
  • Remark 15.93.7
  • Lemma 15.93.8: Bhatt
  • Lemma 15.93.9
  • Lemma 15.93.10
  • Lemma 15.93.11
  • Lemma 15.93.12
• Section 15.94: Derived completion for Noetherian rings
  • Lemma 15.94.1
  • Proposition 15.94.2
  • Lemma 15.94.3
  • Lemma 15.94.4
  • Lemma 15.94.5
  • Lemma 15.94.6
  • Lemma 15.94.7
• Section 15.95: An operator introduced by Berthelot and Ogus
  • Example 15.95.1
  • Lemma 15.95.2
  • Lemma 15.95.3
  • Lemma 15.95.4
  • Remark 15.95.5
    • Equation 15.95.5.1
    • Equation 15.95.5.2
  • Lemma 15.95.6
  • Lemma 15.95.7
  • Lemma 15.95.8
  • Lemma 15.95.9
  • Lemma 15.95.10
• Section 15.96: Perfect complexes and the eta operator
  • Lemma 15.96.1
  • Lemma 15.96.2
  • Lemma 15.96.3
  • Lemma 15.96.4
  • Lemma 15.96.5
  • Lemma 15.96.6
  • Lemma 15.96.7
  • Lemma 15.96.8
  • Lemma 15.96.9
• Section 15.97: Taking limits of complexes
  • Lemma 15.97.1
  • Lemma 15.97.2
  • Lemma 15.97.3 reference
  • Lemma 15.97.4
  • Lemma 15.97.5
  • Lemma 15.97.6: Kollár-Kovács reference
• Section 15.98: Some evaluation maps
  • Lemma 15.98.1
  • Lemma 15.98.2
  • Lemma 15.98.3
  • Lemma 15.98.4
• Section 15.99: Base change for derived hom
  • Lemma 15.99.1
    • Equation 15.99.1.1
  • Lemma 15.99.2
• Section 15.100: Systems of modules
  • Lemma 15.100.1
  • Lemma 15.100.2 reference
  • Lemma 15.100.3
  • Lemma 15.100.4
  • Lemma 15.100.5
  • Remark 15.100.6
  • Lemma 15.100.7
  • Lemma 15.100.8 reference
  • Remark 15.100.9
  • Example 15.100.10
  • Lemma 15.100.11 reference
• Section 15.101: Systems of modules, bis
  • Lemma 15.101.1
  • Lemma 15.101.2
  • Lemma 15.101.3
  • Lemma 15.101.4
  • Lemma 15.101.5
  • Lemma 15.101.6
  • Lemma 15.101.7
• Section 15.102: Miscellany
  • Lemma 15.102.1
  • Lemma 15.102.2
  • Lemma 15.102.3
  • Lemma 15.102.4
  • Lemma 15.102.5
• Section 15.103: Tricks with double complexes
  • Lemma 15.103.1
  • Lemma 15.103.2
• Section 15.104: Weakly étale ring maps
  • Definition 15.104.1
  • Lemma 15.104.2
  • Definition 15.104.3
  • Lemma 15.104.4
  • Lemma 15.104.5
  • Lemma 15.104.6
  • Lemma 15.104.7
  • Lemma 15.104.8
  • Lemma 15.104.9
  • Lemma 15.104.10
  • Lemma 15.104.11
  • Lemma 15.104.12
  • Lemma 15.104.13
  • Lemma 15.104.14
  • Lemma 15.104.15
  • Lemma 15.104.16
  • Lemma 15.104.17
  • Lemma 15.104.18
  • Lemma 15.104.19
  • Lemma 15.104.20
  • Lemma 15.104.21
  • Lemma 15.104.22
  • Lemma 15.104.23
  • Theorem 15.104.24: Olivier
• Section 15.105: Weakly étale algebras over fields
  • Lemma 15.105.1
  • Lemma 15.105.2
  • Lemma 15.105.3
  • Lemma 15.105.4
• Section 15.106: Local irreducibility
  • Definition 15.106.1 reference
  • Lemma 15.106.2
  • Lemma 15.106.3 reference
  • Lemma 15.106.4
  • Lemma 15.106.5 reference
  • Definition 15.106.6
  • Lemma 15.106.7
  • Lemma 15.106.8
• Section 15.107: Miscellaneous on branches
  • Lemma 15.107.1
  • Lemma 15.107.2
  • Lemma 15.107.3 reference
  • Lemma 15.107.4
• Section 15.108: Branches of the completion
  • Lemma 15.108.1
  • Lemma 15.108.2
  • Lemma 15.108.3
  • Lemma 15.108.4
  • Lemma 15.108.5
  • Lemma 15.108.6
  • Lemma 15.108.7
  • Lemma 15.108.8 reference
• Section 15.109: Formally catenary rings
  • Definition 15.109.1
  • Lemma 15.109.2
  • Lemma 15.109.3
  • Lemma 15.109.4
  • Proposition 15.109.5: Ratliff reference
  • Lemma 15.109.6 reference
• Section 15.110: Group actions and integral closure
  • Lemma 15.110.1
  • Lemma 15.110.2
  • Lemma 15.110.3
  • Lemma 15.110.4
  • Remark 15.110.5
  • Lemma 15.110.6
  • Lemma 15.110.7
  • Lemma 15.110.8
  • Lemma 15.110.9
  • Lemma 15.110.10
  • Lemma 15.110.11
• Section 15.111: Extensions of discrete valuation rings
  • Definition 15.111.1
  • Lemma 15.111.2
  • Lemma 15.111.3
  • Lemma 15.111.4
  • Lemma 15.111.5
  • Remark 15.111.6
  • Definition 15.111.7
  • Lemma 15.111.8
  • Lemma 15.111.9
• Section 15.112: Galois extensions and ramification
  • Lemma 15.112.1
  • Lemma 15.112.2
  • Definition 15.112.3
  • Lemma 15.112.4
  • Lemma 15.112.5
    • Equation 15.112.5.1
  • Definition 15.112.6
  • Lemma 15.112.7
  • Lemma 15.112.8
  • Remark 15.112.9
  • Lemma 15.112.10
  • Remark 15.112.11
• Section 15.113: Krasner's lemma
  • Lemma 15.113.1: Krasner's lemma
  • Lemma 15.113.2
  • Definition 15.113.3
• Section 15.114: Abhyankar's lemma and tame ramification
  • Remark 15.114.1
  • Lemma 15.114.2
  • Lemma 15.114.3
  • Lemma 15.114.4: Abhyankar's lemma
  • Lemma 15.114.5
  • Lemma 15.114.6
  • Lemma 15.114.7
  • Lemma 15.114.8
  • Lemma 15.114.9
• Section 15.115: Eliminating ramification
  • Definition 15.115.1
  • Example 15.115.2
  • Lemma 15.115.3
  • Lemma 15.115.4
  • Lemma 15.115.5
  • Lemma 15.115.6
  • Lemma 15.115.7
  • Lemma 15.115.8
  • Lemma 15.115.9
  • Lemma 15.115.10
  • Lemma 15.115.11
  • Lemma 15.115.12
  • Lemma 15.115.13
  • Lemma 15.115.14
  • Lemma 15.115.15
  • Lemma 15.115.16
    • Equation 15.115.16.1
    • Equation 15.115.16.2
  • Lemma 15.115.17
  • Theorem 15.115.18: Epp
• Section 15.116: Eliminating ramification, II
  • Lemma 15.116.1
  • Lemma 15.116.2
  • Lemma 15.116.3
  • Remark 15.116.4
  • Lemma 15.116.5
  • Lemma 15.116.6
  • Lemma 15.116.7
  • Proposition 15.116.8 reference
  • Lemma 15.116.9
• Section 15.117: Picard groups of rings
  • Definition 15.117.1
  • Lemma 15.117.2
  • Lemma 15.117.3
• Section 15.118: Determinants
  • Remark 15.118.1
  • Lemma 15.118.2
  • Lemma 15.118.3
  • Lemma 15.118.4
  • Lemma 15.118.5
  • Lemma 15.118.6
  • Lemma 15.118.7
• Section 15.119: Perfect complexes and K-groups
  • Lemma 15.119.1
  • Lemma 15.119.2
• Section 15.120: Determinants of endomorphisms of finite length modules
  • Lemma 15.120.1
  • Lemma 15.120.2
  • Lemma 15.120.3
• Section 15.121: A regular local ring is a UFD
  • Lemma 15.121.1
  • Lemma 15.121.2
  • Lemma 15.121.3
• Section 15.122: Determinants of complexes
  • Lemma 15.122.1
  • Lemma 15.122.2
  • Lemma 15.122.3
  • Lemma 15.122.4
• Section 15.123: Extensions of valuation rings
  • Definition 15.123.1
  • Lemma 15.123.2
  • Lemma 15.123.3
  • Lemma 15.123.4
  • Lemma 15.123.5
  • Lemma 15.123.6
• Section 15.124: Structure of modules over a PID
  • Lemma 15.124.1 reference
  • Lemma 15.124.2: Generalized valuation rings reference
  • Lemma 15.124.3 reference
  • Lemma 15.124.4 reference
  • Definition 15.124.5
  • Lemma 15.124.6
  • Lemma 15.124.7
  • Lemma 15.124.8
  • Lemma 15.124.9
  • Lemma 15.124.10
• Section 15.125: Principal radical ideals
  • Lemma 15.125.1
  • Lemma 15.125.2
  • Lemma 15.125.3
  • Lemma 15.125.4
  • Lemma 15.125.5
  • Lemma 15.125.6
  • Lemma 15.125.7
  • Lemma 15.125.8
  • Lemma 15.125.9
  • Proposition 15.125.10 reference
• Section 15.126: Invertible objects in the derived category
  • Lemma 15.126.1
  • Lemma 15.126.2
  • Lemma 15.126.3
  • Lemma 15.126.4
• Section 15.127: Splitting off a free module
  • Situation 15.127.1
  • Lemma 15.127.2
  • Lemma 15.127.3
  • Proposition 15.127.4 reference
  • Theorem 15.127.5 reference
• Section 15.128: Big projective modules are free
  • Lemma 15.128.1: Eilenberg's lemma slogan historical remark reference
  • Lemma 15.128.2
  • Lemma 15.128.3
  • Lemma 15.128.4
  • Lemma 15.128.5
  • Theorem 15.128.6 reference